2022 Fiscal Year Research-status Report
動的境界条件を有する拡散方程式の非線形問題への展開
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20K03689
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
川上 竜樹 龍谷大学, 先端理工学部, 教授 (20546147)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 動的境界条件 / 拡散方程式 / 重み付き空間 / 可解性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は半空間における動的境界条件を有する熱方程式の可解性について、基本解の構成を目指すという観点から改良を行なった。本研究は東京大学の石毛和弘氏とコメニウス大学の Marek Fila 氏と行なってきた動的境界条件に関する一連の共同研究の継続研究にあたるものであり、今回も共同で行なった。これまで本問題に対しては、初期値が境界上及び内部で有界である場合についてのみ扱われており、その場合については有界な解が構成できることが示されていた。一方、基本解を構成するにあたっては、初期値の有界性は仮定できず、初期値の空間及びそれに付随した解の空間について進展が待たれていた。ここでは、境界上の初期条件は恒等的にゼロである場合に限定するものの、内部の初期条件が適当な重み付き空間に属する場合に、より広いクラスに属する解の可解性を得ることができた。
この問題における本質的な問題点は、境界上と内部それぞれにある時間発展を内部の方程式に押し付ける際に非線形項に現れる時刻に関する特異性であるが、ここでは半空間における動的境界条件の特徴の一つである、半直線方向と時間方向の関係性に着目することで、半直線方向に関する重み付き空間を導入することで上記の問題点を解消することができた。本研究成果により本問題の可解性についての進展が得られたとともに、基本解の構成について大きな示唆が得られたと言える。この結果についてはすでに論文として現在投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初予定していた基本解の完全な構成には至っていないものの、可解性の範疇を拡張できた点、さらに基本解の構成についての問題点の抽出が行えた点については本研究課題の推進に大きく寄与できたと考えられる。
また、退化する係数を有する放物型方程式の可解性についても具体的な成果は得られていないものの、これまで用いていなかった抽象論を用いたアプローチを検証しており、研究自体は進展していると言える。
以上の観点から本年度の研究目的に対して"おおむね順調に進展している"と言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、本研究課題の最終年度として、これまでの研究全体の総括とやり残した研究について見直しを行う。そこで得られた課題について、今後の研究の方向性を明確にし、次の研究課題を見据えた形での研究に着手する。また、国際共同研究については可能な限り対面での実施を模索し、コロナ禍による影響によって停滞していた連携の強化に努める。
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| Causes of Carryover |
使用計画として挙げていた計算機の購入や、申請時に予定していた研究連絡については国内外共に実施できたものの、過年度に実施予定であった国外の共同研究者との研究連絡については実施できなかったため、次年度使用額が発生した。次年度については１０月にスペインで開催される国際研究集会への参加がすでに確定しており、海外旅費として使用予定である。また国内の研究集会への参加や、研究の進捗状況に合わせて必要な専門書の購入を行なっていく予定である。
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Research Products
(4 results)
