2023 Fiscal Year Annual Research Report
動的境界条件を有する拡散方程式の非線形問題への展開
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20K03689
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
川上 竜樹 龍谷大学, 先端理工学部, 教授 (20546147)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 動的境界条件 / 拡散方程式 / 基本解 / 退化放物型方程式 / 臨界指数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は本研究課題の最終年度であることから、前年度からの継続研究とともに、本研究課題の総括を行なった。
まず、継続研究としては半空間において動的境界条件を有する非線形熱方程式の解析を目的として、まずその第一段階として線形熱方程式の場合の基本解の構成を行なった。これまでは対象とする問題をゼロディリクレ境界条件を満たす非斉次熱方程式と非斉次動的境界条件を有するラプラス方程式の連立系に変形し、その可解性について研究を進めてきた。この方向性についてはこれまで非線形楕円型方程式の可解性や拡散極限などの研究について一定の成果を上げてきたが、昨年度行なったより広いクラスの初期条件に対する可解性の研究から、基本解の構成に際しては問題点の抽出はできるものの、具体的な構成には不向きであるとの感触を得ていた。これに対して、東京大学の石毛和弘氏とその学生である片山翔氏と議論を重ねる中で、oblique 境界条件を有する楕円型方程式の基本解の公式を元に、具体的に基本解を構成することに成功した。現在はこの基本解の諸性質について研究を行なっており、非線形問題への応用についても非常に大きな進歩があったと言える。本研究は今後もこの3名にて共同で研究を行なっていく予定である。
また、動的境界条件に付随する問題である退化係数を有する拡散方程式について、具体的な重み関数での研究を背景により一般の枠組みにおいて時間大域可解性を決定るつ臨界指数を導出した。本研究は Y. Sire 氏、J.-N. Wang 氏との共同研究であり、すでに国際雑誌に掲載が確定している。
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