2020 Fiscal Year Research-status Report
The study on nonlinear elliptic partial differential equations via variational and perturbation methods
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20K03691
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
佐藤 洋平 埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (00465387)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 変分法 / 摂動法 / 楕円型偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
3つの楕円型方程式から成る連立楕円型方程式において、相互作用項に引力的な項と斥力的な項が混じっている場合の符号変化解の存在について2通りの手法により研究成果を得た。この研究はユタ州立大学（福州師範大学）のZhi-Qiang Wang教授との共同研究であり以下の論文として発表をした。
Sign-changing solutions for coupled Schr\"odinger equations with mixed coupling, Topol. Methods Nonlinear Anal. 57 (2021), no. 1, 243--274.
また相互作用項に引力的な項と斥力的な項が混じっている連立方程式が全空間上で定義されているときは、これまで正値解の存在も証明することができていなかったが、今年度の研究によって新たに正値解の存在を証明することができた。この研究もユタ州立大学（福州師範大学）のZhi-Qiang Wang教授との共同研究であり、現在論文としてまとめている.
また全空間上で定義された単独の半線形楕円型方程式が正値解をもつためのほとんど必要十分条件として、Berestycki-Lionsが与えた非線形項の仮定がよく知られている。本研究では十分大きい有界領域上で定義された単独の半線形楕円型方程式において、非線形項がBerestycki-Lionsが与えた仮定と同じ仮定を満たすときに解の多重存在を証明した。この研究は名城大学の柴田将敬准教授との共同研究であり以下の論文として発表をした。
Nonlinear Scalar Field Equations with Berestycki-Lions' Nonlinearity on Large Domains, J. Elliptic Parabol. Equ. 6 (2020), no. 2, 711--731.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の補助事業期間中の研究実施計画で挙げた5つの問題のうち、次の2つの問題について研究成果を得ることができたため。
有界領域上で定義された3つの楕円型偏微分方程式から成る連立方程式系を考え、二つの相互作用項の係数が負の数で十分小さく、残りの一つの相互作用項の係数が正の数で十分大きいとき符号変化解の存在を証明する。
十分大きい有界領域上で定義されたBerestycki-Lions型の非線形項をもつ楕円型方程式の解の多重存在について研究する。
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| Strategy for Future Research Activity |
3次元空間の球上で定義された3つの楕円型偏微分方程式から成る連立方程式系を考え、二つの相互作用項の係数が負の数で十分小さく、残りの一つの相互作用項の係数が正の数で十分大きいときの非球対称解の多重存在を示す。先行研究では少なくとも6個の非球対称解の存在が示されているが、本研究では任意の個数の非球対称解の存在を示す。この問題の解決の有力なヒントは、円環上で定義された単独方程式の非球対称解の多重存在の証明法にあると期待していため、この証明法の理解する。
また、昨年度の研究で、有界領域上で定義された3つの楕円型方程式から成る連立方程式系の結果のうち正値解の存在に関して、全空間上で定義された連立方程式系に拡張することができた。この研究成果を論文としてまとめたあと、その正値解の形状や正値解の多重存在について研究をする。
さらに全空間上で定義された無限に強い引力効果をもつ連立非線形楕円型方程式の解構造についても研究する。
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| Causes of Carryover |
（理由）新型コロナウィルスの影響で対面の研究打ち合わせを行うことができなかったこと、参加予定であった研究集会が中止またはオンライン開催となったこと、講演者を招待して開催する予定だった「さいたま数理解析セミナー」の回数が削減されオンライン開催になったことにより、旅費・謝金として使用する予定だった研究費を使用できなかった。
（使用計画）本年度得られた研究成果を日本数学会等の国内研究集会で発表する旅費に充てる。また、延期になっていた国際研究集会のAIMSが開催される場合は、その旅費にも充てる。
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