Integrability of dynamical systems that exhibit Laurent phenomena and positivity via algebraic entropy

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03692
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 野邊 厚 早稲田大学, 政治経済学術院, 教授 (80397728)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 可積分系 / クラスター代数 / 一般化カルタン行列 / 保存量

Outline of Annual Research Achievements

クラスター代数は、種子（変数と行列の組）に対して変異とよばれる操作を適用することで構成される可換代数である。変数にはクラスター変数と係数という二種類が存在するが、いずれも新旧変数の双有理関係式（交換関係）にしたがって変異し、種子のもう一つの構成要素である交換行列がこの交換関係を定める。この構成方法から、クラスター変数は最初の種子に含まれる有限個のクラスター変数の可約有理式となる。有理式は一般に局所的にローラン級数に展開されるが、クラスター変数は大域的にローラン多項式となるという著しい性質をもつ。可約有理式であるクラスター変数の既約化の際に「大規模な約分」が起こるため、分母は常に単項式となるのである。一方、「大規模な約分」は離散可積分系においても普遍的に観察され、可積分性の鍵となる現象と認識されている。また、クラスター変数のローラン多項式には負号が現れないことも示されており、これらの性質をまとめて、クラスター変数の正値ローラン性とよぶ。このような背景を踏まえ、本研究においては「正値ローラン性と可積分性との間には深い関係があるのではないか」という問題意識に基づいて研究を進めている。
研究計画の2年目である今年度は、昨年度考察したA(1)Nに引き続き、D(1)N型交換行列から導かれるクラスター変異を考察し、その周期性に着目することで、対応するN+1次元双有理写像力学系のN個の保存量を具体的に構成した。この事実からA(1)N型同様、D(1)N型変異も可積分性をもつことがしたがう。A(1)N型に引き続き、アフィン型GCMに対応する一般ランクの可積分なクラスター変異が存在することが示された。今後は、D(1)N型変異の保存量の定める不変曲線を用いて一般解を構成し、その一般解からクラスター変数の一般項を具体的に構成することを目指す。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

今年度初めに所属が変更となったため、新しく担当する授業が年間11コマ程度発生した。そのうち3割程度はオンデマンド型のオンライン授業であり、講義資料の作成、授業動画の録画・編集、提出課題の採点等に多くの時間を使うことになった。対面型授業においても、授業ノートの作成から始めなければならず、例年よりも多くの時間を授業関係に割くことになった。そのため、当初計画で予定していたエフォート40％が達成できず、研究計画の進捗が遅れることになった。その結果、研究成果を発表するまでに至らず、論文投稿や学会発表の成果を得ることができなかった。さらに、依然として新型コロナウイルス感染状況が改善せず、多くのセミナー・研究集会等がオンライン開催となったため、他の研究者のとの議論もままならず、うまく研究を加速させることが叶わなかった。次年度は研究計画の最終年度にあたり研究の仕上げの段階に入らなければならないが、このような状況を考慮して、研究期間の延長も視野に入れつつ、着実に研究を進めて行きたい。

Strategy for Future Research Activity

上で述べたように、D(1)N型変異の保存量は構成できたので、それらの保存量によって初期値より一意的に定まる代数曲線である、D(1)N型変異の不変曲線を考察し一般解を構成する。A(1)N型変異の場合は保存量を用いて変異が線形化できたが、D(1)N型の場合はそうではないため、スペクトル曲線としての代数曲線から準周期解を構成するKricheverの方法に基づいて解の構成を試みる。
研究代表者らによる先行研究で示したように、A(1)1型クラスター変異とA(2)2型クラスター変異は共通の不変曲線をもつ可積分系であり、それらは共通の不変曲線上の力学系として可換である。本研究においてA(1)1型の一般化であるA(1)N型クラスター変異の可積分性が示された。今後はA(2)2型の一般化であるA(2)2N型（もしくはA(2)2N+1型）クラスター変異の可積分性を示すことを試みる。研究推進の方策としては、A(1)N型と同様に、変異の周期性から保存量を構成するという手続きを適用する予定である。また、A(2)2型変異もA(1)N型変異と同様に線形化可能であるため、その一般化であるA(2)2N型変異も線形化可能ではないかと考えられる。線形化可能であればこれまでの研究で培った手法の多くがそのまま適用可能である。さらに、A(2)2型変異とA(1)1型変異が可換であるのと同様に、A(2)2N型変異とA(1)N型変異も可換であると期待されるので、その可換性についても考察する予定である。

Causes of Carryover

新型コロナウイルス感染症の感染状況が予想以上に改善せず、多くの学会・研究集会などがオンライン開催となり、当初予定していた出張旅費を使用することができなかったため次年度使用額が生じた。次年度は研究計画の最終年度にあたるが、研究計画の進捗状況に遅れが生じているため、研究期間の延長を考慮しつつ、当初計画に沿って研究を進める予定である。なお、学会・研究集会についても、徐々にハイブリッド開催を含めた対面形式で開催されているため、次年度は出張旅費の使用が可能であると考えられる。