2020 Fiscal Year Research-status Report

Study on Analytic Cellular Automata

Research Project

Project/Area Number	20K03693
Research Institution	Tokyo University of Agriculture and Technology
Principal Investigator	村田実貴生東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (60447365)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2025-03-31
Keywords	応用数学 / 解析学 / セル・オートマトン / 反応拡散系 / 数理モデル
Outline of Annual Research Achievements	「微分方程式と同水準の解析が可能な」セル・オートマトンの一群の構築およびその解析を行うこと、そのセル・オートマトンを現実問題に適用し、微分方程式に替わる新しい数理モデルとして活用すること、が研究の目的である。具体的には、偏微分方程式のうち、反応拡散方程式に対応するセル・オートマトンとして研究代表者が提案した「Max型拡散セル・オートマトン」について、解析のための理論を確立し諸性質を解明すること、および「Max型拡散セル・オートマトン」を現実の反応拡散現象の数理モデルに応用することで様々な反応拡散現象の本質的な発生機構を解明すること、である。当該年度においては、Max型拡散セル・オートマトンの中で「2成分と3成分」および「空間1次元と空間2次元（ムーア近傍、フォン・ノイマン近傍、六角格子、三角格子）」の場合を研究対象とし、定常解、進行解、全域解、周期解、振動解など特徴的な解について、引き続き研究を進め、微分方程式と同様の解析手法を構築し、Max型拡散セル・オートマトンの諸性質について解明する計画であった。反応拡散方程式においてはチューリング不安定性と呼ばれる拡散がない場合に安定な状態が拡散の効果により不安定化する性質が知られており、この性質により興味深い空間パターンが生じる。反応拡散方程式と同じ性質を持つと期待されるMax型拡散セル・オートマトンにおいて、チューリング不安定性が存在することを示すことが目標であった。当該年度に実施した研究の成果は、Max型拡散セル・オートマトンにチューリング不安定性が存在することを示すことに成功したことである。これは「2成分と3成分」および「空間1次元と空間2次元」の場合のいずれにも示すことができるので、現実の反応拡散現象の数理モデルに応用して、様々な反応拡散現象の本質的な発生機構を解明することが期待できる成果である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason Max型拡散セル・オートマトンにおけるチューリング不安定性の定義を与え、Max型拡散セル・オートマトンのチューリング不安定性について解析を行うことを行った。当該年度においては、特にグレイ・スコットモデルの正値差分化・超離散化により得られるMax型拡散セル・オートマトンのチューリング不安定性を調べた。このMax型拡散セル・オートマトンはグレイ・スコットモデルと同様にチューリング不安定性が存在するといえるような時空パターンが観察されていたが、Max型拡散セル・オートマトンにおけるチューリング不安定性の定義を用いて、チューリング不安定性が存在することを論理的に示した。また、そのチューリング不安定性の性質は「空間1次元と空間2次元（ムーア近傍、フォン・ノイマン近傍、六角格子、三角格子）」のいずれの場合にも共通して有するものであることが分かった。これらの研究成果について、学会でオンラインによる発表を行った。今後、Max型拡散セル・オートマトンを反応拡散現象の数理モデルとして活用するための理論的な準備ができたので、おおむね計画を遂行することができたと考える。
Strategy for Future Research Activity	Max型拡散セル・オートマトンのチューリング不安定性に関する成果について、これまでの研究結果をまとめ、その研究結果を学会講演、学術論文により発表する。 Max型拡散セル・オートマトンについて、特にチューリング不安定性に起因する時空パターンに着目して、現実の反応拡散現象の数理モデルとして活用することを研究する。 Max型拡散セル・オートマトンについて、チューリング不安定性以外の諸性質を調べ、反応拡散方程式の性質との相違点について研究する。
Causes of Carryover	新型コロナウイルス感染症の影響により研究集会が中止あるいはオンラインでの開催となり、旅費の使用額が予定より大幅に減額となり次年度使用額が生じた。次年度使用額は、より研究が推進するように、文献資料購入のための物品費の一部に充当する使用計画をたてる。