2022 Fiscal Year Research-status Report

Study on Analytic Cellular Automata

Research Project

Project/Area Number	20K03693
Research Institution	Tokyo University of Agriculture and Technology
Principal Investigator	村田実貴生東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60447365)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2025-03-31
Keywords	Max型拡散セル・オートマトン / トロピカル差分化 / 超離散化 / セル・オートマトン / 反応拡散系
Outline of Annual Research Achievements	「微分方程式と同水準の解析が可能な」セル・オートマトンの一群の構築およびその解析を行うこと、そのセル・オートマトンを現実問題に適用し、微分方程式に替わる新しい数理モデルとして活用すること、が研究の目的である。具体的には、偏微分方程式のうち、反応拡散方程式に対応するセル・オートマトンとして研究代表者が提案した「Max型拡散セル・オートマトン」について、解析のための理論を確立し諸性質を解明すること、および「Max型拡散セル・オートマトン」を現実の反応拡散現象の数理モデルに応用することで様々な反応拡散現象の本質的な発生機構を解明すること、である。当該年度においては、競争拡散方程式の離散化、セル・オートマトン化に関する研究を行った。競争拡散方程式は競争的な関係にある2種の生物種が共に拡散しながら繁殖を行う現象を表す方程式である。競争拡散方程式にトロピカル差分化の手法を適用することにより、Max型拡散セル・オートマトンの一つが導出されることを示し、競争拡散方程式と同様の進行解を持つことを示した。また、競争拡散方程式には2つの解に適当な順序関係を定めると時間発展後も2つの解がその順序関係を保つという性質がある。そのMax型拡散セル・オートマトンについて、順序保存性があることを示した。これらの研究成果について、論文誌に論文を掲載した。また、ナヴィエ-ストークス方程式の離散化に関する研究を行った。ナヴィエ-ストークス方程式は実際の流体の運動をきわめて精確に近似しており、気象予測や船舶・航空工学をはじめ、さまざまな分野で重要な微分方程式である。ナヴィエ-ストークス方程式の超離散化可能な離散化を提案した。超離散化した方程式は簡便かつ有用な数理モデルとしての活用が期待される。これらの研究成果について、研究集会で発表を行った。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 当該年度においては、Max型拡散セル・オートマトンと競争拡散方程式に関する研究について、論文誌に論文を掲載することができた。各ルールのMax型拡散セル・オートマトンと各種の反応拡散方程式との関係を明らかにし、両者に共通する性質が存在することを示しておくことは、Max型拡散セル・オートマトンを反応拡散現象の数理モデルに応用するために重要なことであると考える。 Max型拡散セル・オートマトンを反応拡散現象の数理モデルとして活用するための成果が継続して得られているので、研究はおおむね順調に進展していると考える。
Strategy for Future Research Activity	Max型拡散セル・オートマトンのチューリング不安定性について、特に空間2次元のグレイ-スコットモデルのセル・オートマトン化を研究対象として、近傍系の取り方と拡散係数と初期状態の取り方に応じて生じるチューリングパターンを研究することで、反応拡散現象によるパターン形成とダイナミクスを説明する数理モデルとして活用できるように研究を進める。 Max型拡散セル・オートマトンとの関係がまだ明らかでない反応拡散方程式について、トロピカル差分化と超離散化の手法を用いて関係を明らかにし、両者の類似点・相違点を研究する。 Max型拡散セル・オートマトン一般について、反応拡散現象を表現する数理モデルとして活用できるように研究を進める。セル・オートマトン一般について、Max型拡散セル・オートマトンに関する研究実績をヒントとして、新しい「微分方程式と同水準の解析が可能な」セル・オートマトンを考案する。
Causes of Carryover	新型コロナウイルスの影響により一部の研究集会が中止あるいはオンラインでの開催となり、旅費の使用額が予定より減額となり次年度使用額が生じた。次年度使用額は、より研究が推進するように、文献資料購入のための物品費の一部に充当する使用計画をたてる。