2020 Fiscal Year Research-status Report
コロンボの理論を用いた不連続な係数を持つ波動方程式に対する初期値問題の研究
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20K03694
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| Research Institution | University of Toyama |
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Principal Investigator |
出口 英生 富山大学, 学術研究部理学系, 准教授 (30432115)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | コロンボの一般関数 / 非線形波動方程式 / 正則性 / 特異性の伝播 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
超関数の理論は、線形位相空間の理論に基づいた本質的に線形な概念である。この理論は偏微分方程式の研究に多大な貢献をもたらしたが、滑らかな係数を持つ線形偏微分方程式の研究に対してさえ、十分でない。さらに、最近の偏微分方程式の研究は、特異性のある係数や初期値を持つ線形偏微分方程式だけでなく非線形偏微分方程式へと重点が移行してきている。このような方程式の研究に超関数を用いるためには、超関数の積をはじめとした非線形な作用に関する理論が必要となる。そのような方向の一つとして、コロンボによって導入された一般関数の理論が注目されている。コロンボの一般関数の空間は、超関数の空間を含む微分多元環であり、部分多元環として滑らかな関数の空間を含む。さらに、この空間は、積だけでなく一般の非線形作用に関しても閉じているので、特異性のある係数や初期値を持つ線形又は非線形偏微分方程式の解を研究するのに、非常に重要で便利な空間である。
本年度は、コロンボの一般関数の理論を用いて、小さい非線形項を持つ波動方程式に対する初期値問題を扱い、一般関数解の存在性、一意性、正則性、特異性の伝播、（超関数解が存在する場合）超関数解との関係を研究した。特に、一般関数解の正則性、特異性の伝播に関しては、次のような成果を得た：
（１）空間１次元の場合、原点における初期値の特異性は線形波動方程式の場合と同じように特性曲線に沿って伝播する。
（２）空間次元１、２、３の場合、正則な一般関数解が一意に存在する。
これらの結果の証明においては不動点定理を用いた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
小さい非線形項の場合に限るが、非線形波動方程式に対する初期値問題を扱い、本研究の主目的であるコロンボの意味での一般関数解の正則性、特異性の伝播に関していくつか成果を挙げることができた。このことから、研究は順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、非線形項が小さくない場合を中心に、波動方程式に対する初期値問題の一般関数解の存在性、一意性、正則性、特異性の伝播、（超関数解が存在する場合）超関数解との関係を研究する。このための手段として、エネルギー評価を用いる方法や不動点定理を用いる方法が適用可能かどうか考察する。
また、インスブルック大学のオーバーグッゲンバーガー教授と定期的にオンラインによる打合せを行い、共同研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
（理由）
新型コロナウイルスの影響で、予定していた海外・国内出張ができなかったため。
（使用計画）
次年度の海外・国内出張、偏微分方程式論と一般関数関連の図書の購入、Mathematicaを用いた偏微分方程式の近似解の計算、論文作成や成果発表のためのノートパソコンの購入にあてる予定。
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