2021 Fiscal Year Research-status Report
Refinement of convergence theorems of nonlinear integrals with applications to the topological properties of function spaces determined by nonlinear integrals
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20K03695
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
河邊 淳 信州大学, 学術研究院工学系, 教授 (50186136)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非加法的測度 / Choquet積分 / Sugeno積分 / Shilkret積分 / Lorentz空間 / 性質(C) / 完備性 / 可分性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非加法的測度論における積算概念である非線形積分を用いて定義される関数空間の完備性と可分性を詳細に考察した．
１．従前の研究では，非加法的測度μが定めるDunford-Schwartz型の先ノルムに関して可測関数空間が完備となるためには，疑距離生成的なμに下からの連続性を課す必要があったが，この条件をより弱い性質(C)に置き換え可能であることを見出した．また，測度の定義域空間が可算集合の場合は，零連続かつ疑距離生成的なμが性質(C)を満たすことが，可測関数空間が完備であるための必要十分条件であることも示した．この結果は，非線形積分が定める関数空間の完備性を解決する際に本質的な役割を果たしている．
２．Choquet積分を用いてLorentz空間（以下ではCL空間とよぶ）を定義し，下から単調自己連続かつ疑距離生成的な非加法的測度μが性質(C)を満たせば，CL空間は準完備となることを示した．特別な場合として，μが下から単調自己連続で緩劣加法的であれば，CL空間は完備となることがわかった．また，Shilkret積分を用いて弱CL空間を定義し，同様の結果を得た．空間の可分性に関しては，可算基をもつμが条件順序連続かつ緩劣加法的ならば，CL空間は可分となることを示した．さらに，CL空間とは異なり，単関数全体は弱CL空間では稠密とならない例を構成した．これらの結果は，Lebesgue積分を用いて議論されてきたLorentz空間の諸結果がかなり弱い条件の下でも成立することを示しており，補間空間の理論への応用が期待できる．
３．Sugeno積分とShilkret積分に対して，Sugeno-Lorentz空間（SuL空間）とShilkret-Lorentz空間（ShL空間）を定義し，SuL空間はSugeno可積分空間と一致することや，ShL空間は弱CL空間と一致することを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今回の研究課題の一つである「非線形積分が定める関数空間の位相的性質の解明」を推進する際の数学的基礎として研究した内容をまとめた論文「The topology on the space of measurable functions that is compatible with convergence in nonadditive measure」が国際雑誌Fuzzy Sets and Systemsに公表された．また，Sugeno積分とShilkret積分が定めるLorentz型空間に関する結果をまとめた論文「The completeness and separability of the Lorentz spaces defined by the Sugeno and Shilkret integrals」も国際雑誌Linear and Nonlinear Analysisに公表された．さらに，今年度の主要な結果をまとめた論文「The completeness and separability of functions spaces in nonadditive measure theory」（共著）も国際雑誌で審査中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
申請時の研究計画・方法に基づき研究を推進する予定である．2022年度は下記の課題を重点的に研究する．
１．可測関数空間上のDunford-Schwartz型の先ノルム（以下ではDS-先ノルムとよぶ）の研究では，DS-先ノルムは一般には三角不等式を満たさないので，開球は必ずしも開集合とはならない．2020年度の研究では開球が開集合となるための必要十分条件は，非加法的測度μが上から自己連続であることを示した．2022年度は，可測関数空間上に導入されている他の先ノルム（Wen-Ren-Wu型，Ouyang-Zhang型，Li型，Assa-Zimper型）による開球が開集合となるための条件と，弱基底及び基底による位相の導入方法との間に潜む密接な関係について，南アフリカ共和国在住のZimper教授との共同研究を推進する．
２．2021年度までの研究で，Sugeno積分が定めるLorentz空間は，Sugeno可積分関数全体が作る空間と集合として一致することが示されている．そこで，これらの空間が位相空間及び線形位相空間としても一致しているかを調べる．そのためには，Sugeno積分の収束定理を適切に改良することと，可測関数空間上で定義されたDunford-Schwartz型の先ノルムとSugeno積分が定めるLorentz型の先ノルムが同値となることを示すノルム不等式を示す必要がある．
得られた研究成果の学会等での対面による口頭発表や研究打ち合わせについては，新型コロナウイルスの蔓延の終息時期を勘案した上で実施する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの蔓延により，研究計画で予定していた対面による研究成果発表及び研究打ち合わせのための国内外の出張がすべてキャンセルとなったため，次年度使用額が生じた．繰り越した研究費の一部は2022年度に同じ目的で使用する．
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