2022 Fiscal Year Annual Research Report
To global analysis for solutions of nonlinear partial differential equations tems
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20K03699
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
西田 孝明 京都大学, 情報学研究科, 名誉教授 (70026110)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 / 大域的解析 / 流体運動方程式系 / 非線形振動 / 計算機援用解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非圧縮性粘性流体の自由表面問題、水平領域における線形化方程式の解の時間発展を調べ、自由表面に表面張力が働く場合と働かない場合について、それぞれ時間に関する減衰評価を得た。元の非線形問題の時間大域的な解を構成する基礎になる。
非圧縮性粘性流体方程式の定常解と定常分岐解を求める際に、その非圧縮性条件の持つ困難を避けるために、弱圧縮性近似をする Chorin の方法がある。Navier-Stokes 方程式や Rayleigh-Benard 熱対流問題については、その正当性を証明してきた。この近似は定式化の仕方からして定常解に限られると思われていたのである。しかしながら、塩熱対流問題の分岐においては、平衡解からの最初の分岐にも Hopf 分岐(周期解分岐)が現れる場合がある。その場合についても、弱圧縮性近似が成り立つことの解析的な証明を行なった。
水平に置かれた流体を下から温める Rayleigh-Benard 熱対流において、Rayleigh 数(上下の温度差)を分岐パラメーターとして、解の大域的な分岐構造を計算機援用解析した。平衡解である熱伝導解は、臨界 Rayleigh 数を越えると、ロール型あるいは六角形型の定常解へ分岐することまでは、 解析的に示されていた。それ以上の解析は、計算機援用が必要になる。そこからロール型の解が安定に存在するが、更に Rayleigh 数が上がると、ロール型の解は、Hopf 分岐を起こして、時間周期的に変化するロール型の解に変わる。更に Rayleigh 数が上がると周期倍分岐を起こし、周期４倍分岐を起こして、徐々に周期がずれて、chaotic な振舞に至るという経路を見出た。こうして非線形偏微分方程式の場合にも chaos に至る経路に周期倍分岐のシナリオがある事を示した。
温度供給が一様でない場合の熱対流問題の解析を始めた。
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