2021 Fiscal Year Research-status Report
Traveling fronts whose cross sections are convex shapes with major axes and minor axes in balanced bistable reaction-diffusion equations
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20K03702
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
谷口 雅治 岡山大学, 異分野基礎科学研究所, 教授 (30260623)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
二宮 広和 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (90251610)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 進行波 / 軸非対称 / 等エネルギー型 / 反応拡散方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
等エネルギー型反応拡散方程式において，「長軸と短軸をもつ凸図形を切断面とする進行波」の存在を証明することが本研究の目的である。反応項が等エネルギー型である場合，1次元進行波は速度ゼロの Standing Frontとなる。この場合，2次元以上の空間において進行波は進行軸にたいして軸対称なもの存在することが Chen, Guo, Ninomiya, Hamel and Roquejoffre (ANIHPC 2007)により証明された。進行軸にたいして非対称な形状をもつ進行波が存在するかどうかは未解決であった。本研究では，等高面の切断面が「長軸と短軸をもつ凸図形をなす進行波」が存在することを証明した。この成果は Taniguchi (ANIHPC 2019)に掲載された。ある高さでの等高面の切断面に対して，長軸と短軸の比を任意に設定した場合，そのような進行波が存在することを示したものである。一方，長軸と短軸の数値を任意に設定した場合，高さを適当に定めることにより，そのような凸図形を切断面とする進行波が存在するかどうかという問題が新規に得られた。この問題に対して肯定的な解答が本研究で得られた。
また，上記の進行波解について，等高面の切断面の形状が，漸近的にどのようになっているかという課題は未解決であり，現在この課題に取り組んでいる。
2022年3月にドイツのベルリンにおいて SIAM Conference on Analysis of Partial Differential Equations (PD22) が開催され，私は招待講演を行った。2022年7月においては，カナダのBanff International Research Stationにおいて研究集会が開催される。この研究集会に参加し，国内外の研究者と情報交換とディスカッションを行う予定である。また2022年12月にカナダのバンクーバーで開催される研究集会PRIMA2022において招待講演をおこなう予定である。今後も国内外の研究者と情報交換とディスカッションを行いつつ，本研究を推進する。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
等エネルギー型反応拡散方程式において，「長軸と短軸をもつ凸図形を切断面とする進行波」の存在を証明することが本研究の目的である。本研究では，等高面の切断面が「長軸と短軸をもつ凸図形をなす進行波」が存在することを証明した。この成果は Taniguchi (ANIHPC 2019)に掲載された。ある高さでの等高面の切断面に対して，長軸と短軸の比を任意に設定した場合，そのような進行波が存在することを示したものである。一方，長軸と短軸の数値を任意に設定した場合，高さを適当に定めることにより，そのような凸図形を切断面とする進行波が存在するかどうかという問題が新規に得られた。この問題に対して肯定的な解答が本研究で得られた。すなわち，長軸と短軸の数値をそれぞれ任意の正の値に設定した場合，ある高さにおいて切断面がこの長軸と短軸をもつ多次元進行波が存在することが証明された。
研究計画書に照らして「おおむね順調に進展している」ことを報告する。
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| Strategy for Future Research Activity |
等エネルギー型反応拡散方程式において，「長軸と短軸をもつ凸図形を切断面とする進行波」の存在を証明することが本研究の目的である。上述のように，長軸と短軸の数値をそれぞれ任意の正の値に設定した場合，ある高さにおいて切断面がこの長軸と短軸をもつ多次元進行波が存在することが証明された。この進行波解について，等高面の切断面の形状が，漸近的にどのようになっているかという課題は未解決であり，現在この課題に取り組んでいる。
2022年3月にドイツのベルリンにおいて SIAM Conference on Analysis of Partial Differential Equations (PD22) が開催され，私は招待講演を行った。2022年7月においては，カナダのBanff International Research Stationにおいて研究集会が開催される。この研究集会に参加し，国内外の研究者と情報交換とディスカッションを行う予定である。また2022年12月にカナダのバンクーバーで開催される研究集会PRIMA2022において招待講演をおこなう予定である。今後も国内外の研究者と情報交換とディスカッションを行いつつ，本研究を推進する。
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| Causes of Carryover |
2022年カナダで開催される研究集会での旅費に使用するため。
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