高階分散型写像流に対する幾何解析

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03703
• Research Institution: Kochi University
• Principal Investigator: 小野寺 栄治 高知大学, 教育研究部自然科学系理工学部門, 准教授 (70532357)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 偏微分方程式の初期値問題

Outline of Annual Research Achievements

実数直線からコンパクト局所エルミート対称空間への時間パラメータ付き曲線がみたすある４階非線型分散型偏微分方程式について、前年度までとは一部異なる切り口から研究を試みた。
（１）局所エルミート対称空間が複素グラスマン多様体である場合、対称空間論やYang-Mills理論で構築された方法に基づいて上記の偏微分方程式を変形および観察する方法が他の研究者の先行研究により与えられていた。そこでは変形後の方程式は複素行列値関数に対する偏微分方程式として得られていた。一方、本研究では、写像に沿う平行な動標構とリーマン曲率テンソルの基本性質を利用することにより、上記の４階分散型偏微分方程式を複素数ベクトル値関数がみたす非線型分散型偏微分方程式系として変形および観察した。後者の方法は一般のコンパクト局所エルミート対称空間の場合まで含めて統合的に扱うことが可能である。
（２）上記（１）で観察された複素数ベクトル値関数がみたす空間１次元４階非線型分散型偏微分方程式系の構造をわずかに一般化したうえで、その初期値問題の時間局所適切性の証明を作っておいた。Ding-Wang(2018)の論文で（1）の行列値分散型偏微分方程式の時間局所解の存在が期待されており、本研究の結果自体はその期待に対する一つの肯定的解答を与えている。ただし、証明のアイデアは以前にコンパクトケーラー多様体値の４階分散型写像流の時間局所解の存在を示した方法（千原浩之氏との共同研究）の焼き直しに留まっている。また、系としての特性を引き出して解のクラスを精密化したり、本研究成果を分散型写像流の研究の進展に繋げるためには更なる考察が必要である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

前年度までの研究を更に進める中で、成果やより深い知見が得られた。また、これらに関連して、新たに勉強したいことや解決したい課題も見つかった。一方で、当初計画していたにも関わらず着手に至っていない研究もある。

Strategy for Future Research Activity

現在までに得られた成果をいったん整理し、残されている課題に取り組む。

Causes of Carryover

コロナ渦で前年度までに生じていた次年度使用額が大きかったことが当該年度にも影響したため。
次年度も引き続き、必要に応じて使用させていただきたいと考えている。