2021 Fiscal Year Research-status Report
多孔質媒体内の階層的変化を記述する偏微分方程式と自由境界問題の連立系の研究
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20K03704
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| Research Institution | Nagasaki University |
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Principal Investigator |
熊崎 耕太 長崎大学, 教育学部, 准教授 (30634563)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 多孔質媒体 / 自由境界問題 / 偏微分方程式 / 微視的領域 / 巨視的領域 / 数理モデル / 解の存在と一意性 / 偏微分方程式と自由境界問題の連立 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、多孔質媒体内における微視的な変化を自由境界問題、物質全体の変化を偏微分方程式によって表し、それらの連立系の適切性を考察し、両変化を同時に扱う数学的枠組みを構築することが目的である。本年度得られた結果は以下である。
1. 多孔質媒体の1点に対して、1つの細孔が対応しているものとし、その内部では水分量の変化を表す自由境界問題を考える。このように設定することで、物質全体に分布している無数の細孔内における変化を同時扱うことができる。この問題に対して、解の存在および初期値や境界値に対する解の連続依存性を示した。また、得られる解は、多孔質媒体の1点に対応して存在しているが、解全体の性質として多孔質媒体全体において可測であることを示した。
2. メラニンフォームに代表される気泡ゴムは、溶液に浸すと水分や溶質を吸収する。吸収された溶質は、内部に浸透する。こうした現象に対して、浸透する領域を1次元区間、浸透の位置を1次元区間の先端(自由境界)とした自由境界問題を考察した。この問題の特徴は、溶質の侵入を表す境界条件が課されていることと、自由境界の速度を表す常微分方程式に、重力等による浸透抑制の効果が考慮されていることである。こうした問題に対して、時間大域的な解の存在と一意性、および解の時間大域的な挙動を証明した。特に、解の時間大域的な挙動として、浸透抑制の効果を無視した場合は、時間経過に伴って浸透の位置は発散し、浸透抑制の効果を考慮した場合は、時間経過に伴って浸透の位置は有限の値に近づくことを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の進捗状況は以下である。
1. 細孔内部における水分量の変化を表す自由境界問題を、多孔質媒体の1点に対応させることで、無数の自由境界問題を同時に扱えるようにし、その問題の解の存在を示すことができた。また、初期値や境界値に対する解の連続依存性、および解が多孔質媒体全体で可測であることを示すこともできた。これにより、微視的数量である自由境界問題の解が、巨視的領域において積分可能であることが分かった。
2. 多孔質媒体の微視的領域で起こる現象に対する新たな知見として、気泡ゴム内の物質の浸透現象を表す自由境界問題を考察し、時間大域的な解の存在および解の時間大域的な挙動を証明した。特に、解の時間大域的な挙動では、浸透抑制の効果に対応した浸透の位置の時間変化を示すことができた。
これらの結果から、本年度の進捗状況として、順調に進展しているものと考える。次年度、今年度達成することができた1の結果を用いて、微視的な変化を表す自由境界問題と巨視的な変化を表す偏微分方程式の連立系に対して、解の存在と一意性を示す。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の進捗状況に基づき、次年度の研究を以下のように設定する。
本研究課題の研究計画に基づき、微視的な変化を表す自由境界問題と巨視的な変化を表す偏微分方程式の連立系に対する解の存在と一意性を示す。方針として、自由境界問題の解が、初期値や境界値に対して連続的に依存することや巨視的領域において可測であることを用いて、自由境界問題の解と偏微分方程式の解をつないだ解写像の縮小性を示す。これにより、不動点定理を用いて、時間局所解を構成する。次に、時間局所解を延長することにより、時間大域解の構成を試みる。この際、自由境界問題の解が固定境界に有限時刻で到達してしまうと解を延長することができないので、初期値・境界値およびその条件の見直しを行いながら進める。
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| Causes of Carryover |
本年度予定していた国際学会や国内学会・研究会が、新型コロナウイルスのため中止となり、次年度使用額が生じた。次年度使用額については、翌年度請求分と合わせて、研究成果発表や研究打合せの費用に充てる。
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