2020 Fiscal Year Research-status Report
Study for nonlinear partial differential equation with Sobolev critical/supercritical nonlinearity
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20K03706
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| Research Institution | Tsuda University |
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Principal Investigator |
菊池 弘明 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (00612277)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線形シュレディンガー方程式 / 基底状態 / エネルギー臨界 / 臨界振動数 / 質量臨界 / 散乱 / 分岐解 / 線ソリトン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度得られた研究成果は主に三つある。
一つ目は、空間３次元の非線形シュレディンガー方程式の基底状態の存在についてである。ここでは特に、エネルギー臨界とエネルギー劣臨界の２重べきの非線形項を考えた。これまでの研究により、エネルギー劣臨界の非線形項の指数が３以下の場合は、ある臨界振動数が存在して、振動数が臨界振動数よりも大きければ基底状態は存在せず、小さいと基底状態は存在するということが分かっている。そこで、振動数が臨界振動数の場合、基底状態は存在するかどうかを調べた。ここでは、背理法と凝集コンパクト性を用いることで、エネルギー劣臨界の非線形項の指数が３より小さければ、臨界振動数の時には、基底状態が存在することを証明した。
二つ目は、質量臨界とエネルギー臨界の２重べきの非線形シュレディンガー方程式の基底状態より小さいエネルギーを持つ解の大域挙動である。これまで、ポテンシャル井戸と呼ばれるものを定義して、そこから出発する解は爆発することが分かっていた。ここでは、別のポテンシャル井戸を定義し、そこから出発する解は散乱することが分かった。
三つ目は、シリンダー上における非線形シュレディンガー方程式の分岐解についてである。この方程式には、全ての振動数に対して、``線ソリトン”と呼ばれる明示的に書ける解がある。これまで、Yamazaki(2015)により、ある臨界振動数が存在して、その振動数を持つ線ソリトンから分岐する定常解があることが示された。この結果では、べき乗型非線形項の指数は２より大きいという条件が必要であったが、ここではその条件を緩め、１より大きければ、臨界振動数を持つ線ソリトンから分岐する定常解が存在することが分かった。ここでも、Yamazakiと同様に、リャプノフ・シュミット法を用いたが、補助方程式の解の性質を詳しく調べることにより、条件を緩めることに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
空間３次元における２重べきの非線形項をもつシュレディンガー方程式の基底状態の存在については、エネルギー劣臨界の非線形項の指数が３以外のときは、すべての振動数に対して、基底状態の存在・非存在が分かった。未解決なのは、エネルギー劣臨界の非線形項の指数が３で臨界振動数を持つときのみである。
質量臨界とエネルギー臨界の２重べきの非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動については、基底状態より小さいエネルギーを持つ解について調べることが出来た。今後は質量臨界とエネルギー臨界の２重べきを含む一般的な非線形項に拡張できないかを考えたい。
シリンダー上における非線形シュレディンガー方程式の分岐解については、すべての非線形項について存在することを示すことが出来た。今後はこの結果をもとに安定性を解析したいと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
空間３次元における２重べきの非線形項をもつシュレディンガー方程式の基底状態の存在については、エネルギー劣臨界の非線形項の指数が３のときにおいて、臨界振動数をもつ基底状態が存在するか否かを考えたい。また、空間４次元のときや重ラプラシアンのときにも同じような現象が見られるかどうかについても解析したいと考えている。
質量臨界とエネルギー臨界の２重べきの非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動については、より一般的な非線形項を扱えないかどうかを考えている。また、証明についても、プロファイル分解などについては平易に出来ないかどうかということも試みたい。
シリンダー上における非線形シュレディンガー方程式については、得られた分岐解の結果を用いて、臨界振動数をもつ線ソリトンの安定性について考えたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスによる影響により、出張に行くことが出来なかったことが大きな理由である。使用計画のほとんどを旅費に充てていたため、次年度まで多くの額を繰り越すことになった。
2021年度も出張に行くことが難しいと思われるため、オンラインでコミュニケーションが円滑にできるような機器を購入したいと考えている。
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