2022 Fiscal Year Research-status Report
Study for nonlinear partial differential equation with Sobolev critical/supercritical nonlinearity
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20K03706
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| Research Institution | Tsuda University |
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Principal Investigator |
菊池 弘明 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (00612277)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 基底状態 / Threshold solution / 散乱 / 爆発 / one-pass theorem / 一意性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、主に浜野大氏(早稲田大)と渡邉南氏(津田塾大)との共同研究で、空間3次元で3次と5次のべき乗型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動について調べた。この方程式には、基底状態と呼ばれる重要な定常解がある。この方程式の解で、対応するエネルギー汎関数の値が基底状態のそれよりも小さいものについては、ある時刻で爆発するか、線形の解に近づくような2種類の解があることが既に分かっている。そこで、Threshold solutionという、基底状態と同じエネルギー汎関数の値を持つ解について調べた。この場合は、上記の結果とは異なり、正の方向の時刻無限大で基底状態に漸近して、負の方向の時刻無限大で爆発する解や線形の解に近づくような解があることが分かった。このような結果は単純ベキの非線形項においては、既にDuycaerts-Merle (2009), Duycaerts-Roudenko(2010)により得られているが、彼らの手法では、２重ベキの非線形項に対しては直ちに適用することは困難であるように思われる。ここでは、Nakanishi-Schlag(2010)によるone-pass theoremを用いることでこの困難を克服することが出来た。また、二重ベキの非線形シュレディンガー方程式の基底状態の一意性については、ある場合においては、Coles-Gustfson(2020)により得られているが、ここでは、彼らの手法とAkahori-Ibrahim-Ikoma-Kikuchi-Nawa(2019)の手法を組み合わせることで直接的な証明を与えることが出来た。
さらには、4階非線形シュレディンガー方程式の基底状態の存在についてである。ここでは、エネルギー臨界の増大度を持つ一般的な非線形項に対して、基底状態が存在することが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
二重べきの非線形シュレディンガー方程式に対しては、基底状態まわりの大域挙動については調べることが出来た。具体的には、これまで基底状態と同じエネルギーを持つ解(Threhold solution)の大域挙動を解析することが出来た。今後はこれまでの解析を利用して、基底状態よりも大きいエネルギーを持つ解の大域挙動についても調べたいと考えている。
また、二重べきの非線形シュレディンガー方程式の定常問題は2つの正値解があることが分かっている。一つ目は、基底状態であり、よく性質がわかっているが、2つ目は正値解については不明なことが多く、これを調べることは興味深いと思われる。この二つ目の正値解はある制約付き最小化問題の最小元であることが分かったため、それを基に非退化性やモース指数などを解析出来ないかを試みたい。特に非退化性については、これまでの計算結果を適用することが出来るように思われる。このような理由から準備はある程度できていると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
空間3次元の二重ベキの非線形シュレディンガー方程式には、ある場合においては、2つの正値解が存在することが分かっている。多くの場合においては、正値解は唯一つであることが知られているが、この非線形項においてはそれが成立しない興味深い事実である。2つの正値解のうち、一つ目の正値解は、基底状態と呼ばれる、よく性質が知られているものであり、二つ目は、まだ性質があまり分かっていないので、これについて解析する。この二つ目の正値解は、ある制約付き最小化問題の最小元になっていることが分かっており、それを用いることで、その最小元の一意性や非退化性およびモース指数について解析出来ないかを試みたい。また、この2つ目の正値解のまわりの大域挙動について調べることも興味深いと思われる。その理由は、これまでの結果は、基底状態まわりの大域挙動がほとんどであるので、既存の理論が適用できるかが不明なためである。
また、4階非線形シュレディンガー方程式についても上記と同じように正値解が2つある場合があるのではないかを調べてみたい。上記の結果は、定常問題の極限方程式がAubin-Talenti関数と呼ばれる明示的にかける解が存在し、空間3次元においてはL^{2}空間に属さないことがポイントになっている。4階非線形シュレディンガー方程式の定常問題の極限方程式もAubin-Talenti関数と同様に明示的にかける解がある。さらには、それは空間次元が低いと、L^{2}空間に属さない。それ故、同様の現象が起こることを期待しているが、4階非線形シュレディンガー方程式の定常問題の場合は、最大値原理が成立しないという困難が生じる。この困難を以前の結果で用いたJensen-Kato(1979)のレゾルベント展開を応用して克服できないかを試みたい。
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| Causes of Carryover |
申請当初は、直接経費を主に海外出張のために使用する予定だったが、コロナ禍により制限があるため、それを実現することは難しかった。2023年度は、規制が緩和したため、これを機にそれまで行けなかった出張の旅費として使用する予定である。
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