2021 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of propagation phenomena and singularity of the logarithmic diffusion equation
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20K03708
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
下條 昌彦 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (40588779)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 対数拡散方程式 / 反応拡散方程式 / 特異性 / 伝播現象 / 全域解 / フロント波 / パルス波 / 単安定・双安定 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は単安定の反応項をもつ対数拡散方程式のパルス型の進行波解を考察し，無限遠で指数的なオーダーで減衰する任意の解の挙動を完全に分類し，その解挙動を精密に解析した．具体的に述べると以下のような解の振る舞いが得られる．
[A]パルス型進行波が存在しないパラメータの場合：任意の解は有限時間で消滅する．
[B]パルス型進行波が存在するパラメータの場合：大きな解は安定な平衡点に収束しその遷移層がフロント型進行波の速度で広がる．そして小さな解は有限時間で潰れるが，その漸近挙動は自己相似変換を施すと反応項がない対数拡散方程式と同じである．またそれらの境目にある解はパルス型進行波に漸近する．
これらは東京工業大学の柳田英二氏，岡山大学の物部治徳氏との共同研究である．我々は放物型方程式のスツルムの交点数理論を用いて全域解の分類に関するLiouville型定理を確立し，解のダイナミクスを特徴付けることに成功した．またこれまで本研究課題で考察してきた全ての問題を統一理論的に証明することが可能になった(論文投稿済)．
全域解の研究に関す新たな問題として，エネルギー構造があるが比較原理が使えないような連立系の反応拡散方程式に対して，全域解のLiouville型定理を確立した．我々が得たLiouville型定理には未知関数の個数や拡散係数および空間次元に制約がない．応用としてたとえばDucrot-Giletti-Matano(2019)らの研究で未解決になっていた，拡散係数が一般の場合の，反応拡散方程式の伝播現象の漸近挙動の問題に決着がつく．また，Ducrot-Guo(2018)らの被食捕食系の初期値問題の解の空間一様化現象に関する既存の結果に対して，空間次元の制約を取り除くことが可能である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
対数拡散方程式に対して，進行波近傍の全域解に対する局所分類定理を確立した．これにより，遠方で適当なフラックス条件を満たす任意の解の，進行波への収束定理を統一的に証明することが可能になった．また同様の理念の下，連立系の反応拡散方程式に対しても定数定常解近傍の全域解の局所分類定理を確立することに成功している．数理生態学に現れる被食捕食系や感染症モデルなどに対しても，伝播現象の漸近挙動が解明された．本年度は，対数拡散方程式のフロント型進行波に関する研究論文(1編)と反応拡散方程式の伝播現象に関する論文(3編)が学術誌に掲載された．
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| Strategy for Future Research Activity |
対数拡散方程式のLiouville型定理はフラックス条件から進行波など典型的な全域解を特徴づけるものである．予想では，より複雑なダイナミクスとしてそれらを結ぶヘテロクリニック軌道が構成できるはずである．両側から近づいてきたフロント型進行波が衝突して通り抜けるような全域解を構成することを計画している．一方，連立系の反応拡散方程式に対しても全域解の，定数定常解に関わる，一般的なLiouville型定理を確立することに成功した．現段階では線形の標準的な拡散に対する主張になっている．より一般の異常拡散をもつ連立放物型方程式に対しても得られた定理を拡張する．このプロジェクトに成功すると，現在未解決問題として知られている，分数階拡散方程式の伝播現象の漸近挙動の攻略が可能である．
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| Causes of Carryover |
2021年度の行われる予定であった日本数学会の年会が中止となり，発表予定の講演がとりやめになった．2022年度の学会でこの成果は発表する予定である．このため，研究成果発表のための旅費が必要となった．また2021年度にカナダでの国際研究集会の対面開催が中止となった．これに関して，2022年度はカナダでの対面開催が予定されており，その参加のための旅費が生じている．
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