2021 Fiscal Year Research-status Report
Constructive research towards solving the existence problem on Hadamard matrices
| Project/Area Number |
20K03719
|
|---|
| Research Institution | Kumamoto University |
|---|
Principal Investigator |
籾原 幸二 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (70613305)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
丸田 辰哉 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80239152)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | アダマール行列 / 歪みアダマール行列 / D-最適性 / 差集合族 / 2-交差集合 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
Chen(1997)によって与えられた均整アダマール行列を分解し, 他の組合せ構造と合成することで2,3,5倍のアダマール行列に拡大するような例を申請者の先行研究ですでに発見していたが, 昨年度はそれを一般の倍率に一般化することが一つの目標であった. この問題に取り組み, 他の組合せ構造として, これまで先行研究ではあまり扱われなかった4つのブロックを持つPaley型の差集合族を用いた一般的な構成法を考案した. この結果のさらなる一般化について現在研究を遂行中である.
Xia-Xia(2003)やLeung-Schmidt-Ma(2006)によるアダマール行列を生成する4つのブロックからなる差集合族が発見されている. この2つの差集合族に共通する性質として, 4つのうちの2つのブロックを選び, その位数に関して条件を加えることで, 2つのブロックからなる「almost」差集合族が得られることを証明することに成功した. これにより, アダマール行列ではないももの, D-最適性を80%以上満たす新たな2元行列の存在性を示すことができた. 現在, 須田氏(防衛大学校)とXiang氏(南方科技大学)との共同で, 論文を執筆中である.
その他, 良く知られた平方剰余を用いた歪みアダマール行列を構成する方法を, pureなGauss和の理論を用いて一般化することに成功した. この結果は, 単著として論文を執筆し採択された. さらには, 長年未解決であったあるパラメータのCameron-Liebler line classと呼ばれる有限幾何構造の存在性について, 本研究課題の主題である2-交差集合の問題に帰着させ, 解決することができた. この結果は, Feng氏, Rodgers氏, Xiang氏, Zou氏と共同で論文を執筆し採択された.
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目的は, Chen (1997)が発見した2-交差集合やXia-Xia(2003)やLeung-Schmidt-Ma(2006)による1次元の2-交差集合に対応する差集合族について, それを高次元に拡張することが当初の目的であった. まずは計算機によって, 一般化可能な例の発見を試みたものの, 無限族として一般化可能な例は発見できなかった. この部分に関しては, 当初の計画からは遅れている. また, Chen(1997)による均整アダマール行列の分解・拡大の理論に関しては, 既知の例をPaley型の差集合族を用いて一般化できた部分に関しては, 当初の計画通り進んでいる.
さらには, 本研究の副産物として, 非常に大きな行列式の値を持つ2元行列を生成する「almost」差集合族を発見し, ChenやXia-Xia, Leung-Schmidt-Maによる既存の差集合族を用いたアダマール行列の構成理論を応用できたことは興味深く, 実験計画法の研究分野において価値のある結果であると思われる.
また, アダマール行列の研究分野で用いられてきた2-交差集合の構成理論が, 長年未解であったあるパラメータのCameron-Liebler line classという有限幾何構造の構成に応用することができ, 異分野への応用を見出すことができたことは価値のある研究成果であると言える. この観点では, 当初の計画以上に進んでいると判断できる. 総じて, おおむね順調に進展しているといえる.
|
| Strategy for Future Research Activity |
Chenによる均整アダマール行列の分解・拡大の理論に関しては, 昨年度の研究で, すでにPaley型の差集合族を用いて部分的に一般化できたが, Paley型差集合族に関する先行研究はほとんどない. よって, 広いパラメータで所望のPaley型差集合族を構成するための方法について, アソシエーションスキームや有限幾何学に基づく理論構築を行い, より広いクラスでのアダマール行列の構成を目指す. また, 同じ位数のアダマール行列が得られた際にはその同値性の理論的な判定も同時に行う.
一方, Chenの2-交差集合やXia-XiaやLeung-Schmidt-Maによる1次元の2-交差集合に対応する差集合族の高次元化については継続して, 計算機を併用しながら一般化可能な例の発見とその解析を行うが, 一般化できなかった場合も考慮に入れ, これらの差集合族の構成手法を上記のPaley型差集合族の構成へ応用することについても同時に考える. さらには, 既存のGriesmer符号や少ない重みの種類を持つ良い符号から所望の2-交差集合が得られるか否かについて, 2-交差集合およびその一般化と上記の符号との関係について明らかにしながら調べるという方向で研究を行う. この部分に関しては, 丸田氏(大阪府立大学)と共同で研究を推進する.
本研究内容に関して, 少なくとも2つ以上の国内外の研究集会で研究発表を行う予定である.
|
| Causes of Carryover |
コロナウイルス感染症予防のため, 国内外の出張が, 当初の計画通り実施できなかったため次年度使用額が生じた. 残りの金額に関しては, 今年度の使用計画に加え, 前年度や前々年度分の国内外出張予定に沿って使用する予定である.
|
Research Products
(8 results)
