2021 Fiscal Year Research-status Report
有向グラフ上の詰込み・分割問題に対する新手法の開発とその応用
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20K03720
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
千葉 周也 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (80579764)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 有向閉路分割 / 有向道分割 / ハミルトン閉路 / 次数条件 / 禁止部分グラフ条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 指定された個数からなる有向閉路分割および有向道分割に対する次数条件
2020年度に得られた研究成果において用いられた証明手法の拡張可能性について考察するために，引き続き有向グラフ上の有向閉路分割および有向道分割に対する次数条件に関する問題について考察した。特に、無向二部グラフ上の全域線形林に関する新しい概念を導入することで、2005年のEnomoto-Liによる「指定された個数からなる閉路または位数2以下の道によるグラフの分割」に対する次数条件の結果を、有向グラフ版の結果へと拡張するための証明手法を提案することに成功した。Enomoto-Liによる証明手法では有向グラフ版に対応できない部分があったが、本研究によってその状況が打開された。
(2) 有向閉路分割数および有向道分割数に対する禁止部分グラフ条件
有向グラフの有向閉路分割数および有向道分割数に焦点を当て、それらが定数で抑えられている有向グラフの特徴付けを、基礎グラフに対する禁止部分グラフ条件と向き付けに対する禁止条件の観点から与えることに成功した。また、無向グラフに対する結果との関係性やその議論から派生する種々の関連結果についてまとめた本研究成果を2021年度応用数学合同研究集会にて報告した。
(3) ハミルトン閉路に対する十分条件
有向グラフ上の詰込み・分割問題に対する証明手法の枠組みを構築するための準備として、無向グラフ上のハミルトン閉路の存在性に対する証明手法の精査を行なった。特に、有向グラフとの関係性が強い無向二部グラフに焦点を当て、グラフ上の密な全域二部グラフの存在性に対する次数条件を与えることに成功した。それにより、ハミルトン閉路の存在性に対するいくつかの既存の結果の関係性を明らかにした。また、本研究成果は学術雑誌（Graphs Combin, 2021）に掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(1) 2021年度の研究成果によって、無向グラフ上の閉路分割および有向道分割に対する次数条件の結果を、有向グラフに対する結果へと自然に拡張できることがまた1つ明らかになった。さらに、有向閉路の詰込みと頂点被覆数に関する問題への拡張可能性をも見出すことができたので、この点についても今後の研究に繋がる成果となっている。よって、前年度までの研究成果とも合わせることで、有向グラフ上の分割問題に対する新しい手法の理論的枠組みの構築およびその応用へと繋がることが期待できるので、本研究は着実に進展していると言える。
(2) 有向グラフの閉路分割数および道分割数に対する禁止部分グラフ条件について考察することにより、グラフの誘導道分割数に対する禁止部分グラフ条件など他の類似問題に関する成果も得ることができたので、今後、応用面も含めて次数条件以外の十分条件に対する手法の理論的枠組みの構築が期待される。
以上のことから、2021年度に得られた研究成果は本研究課題の解決およびその発展に繋がるものだと考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) 現在までに得られた研究成果の証明手法をさらに精査するために引き続き他の類似問題について考察する。特に、詰込みや分割の対象となるグラフの族を特定の制約を与えた閉路，道および木に焦点を当て、それぞれの存在性を保証するための条件や証明手法を整理することにより、包括的な枠組みの構築の具体化を進める。
(2) これまでに得られた研究成果のうち未発表のものも含めて、本研究課題に関連する成果を学術雑誌や国際・国内会議（遠隔参加も含む）を通して他の研究者に広く周知する。それにより、他研究者と最新の研究情報の交換を行い、本研究課題の問題点・研究方針について議論する。
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| Causes of Carryover |
理由：2020年度に引き続き、新型コロナウイルス感染症の感染拡大の影響により、2021年度に参加を予定していた学会・研究集会の中止ならびに他研究者との研究打ち合わせの出張を見送ったため。
使用計画：対面による開催が予定されている学会・研究集会に参加するための旅費や、遠隔で学会・研究集会に参加するための準備に対する設備備品（PC・モニタ等）や消耗品の費用の一部として使用する。
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