2021 Fiscal Year Research-status Report
Geometric approach to the extendability of linear codes and optimal linear codes
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20K03722
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
丸田 辰哉 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80239152)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 線形符号 / 最適符号 / 符号の拡張可能性 / 有限射影幾何 / Griesmer 限界 / blocking set |
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| Outline of Annual Research Achievements |
q 個の元から成る有限体（q 元体）F_q 上の長さ（符号長） n, 次元 k, 最小重み d の線形符号（[n,k,d]q 符号）が存在する限界（特に、[n,k,d]q 符号が存在するような長さ n の最小値 n_q(k,d)）を決定する問題は、符号理論において最も基本的な研究課題の一つであり、最適線形符号問題（Optimal Linear Codes Problem）と呼ばれる。線形符号が拡張可能であるための条件を射影幾何の手法を用いて新たに求め、その研究によって得られた拡張定理を用いた Griesmer 符号等の非存在証明による最適な線形符号がもつ長さの最小値の確定、最適な線形符号のコンピュータによる探索と構造解析、arc や blocking set といった有限射影空間における（多重）集合の特殊な構造を用いた符号の構成等を通して、最適線形符号問題の解決を目指すのが本研究の主目的である。
本年度は、主に３元体上の線形符号と q元体上の４次元線形符号の最適線形符号問題（n_3(k,d) と n_q(4,d) の決定問題）について取り組み、PG(3,q) の hyperbolic quadric を用いた最適な４次元線形符号の構成方法や n_3(k,d) が Griesmer 限界を超える最大の d を求める問題等について、新たな知見を得た。これらの成果は、国内の離散数学や組合せ論に関する研究集会や国際会議 BCC 2021 で発表を行った。射影空間の blocking set については、PG(4,2) における非自明な極小 blocking set の分類等に関して熊本大学の城本教授らと共同研究を行った成果を国際学術雑誌に発表した。また、４元体上の線形符号の拡張可能性についても取り組み、新たな拡張定理が得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」で述べたように、最適線形符号問題に関する多くの成果が得られ、国内外における研究発表や国際学術雑誌の論文として発表することができた。また、４元体上の線形符号の拡張可能性に関する成果は、今後の最適線形符号問題に関する研究に応用されることが期待できる。一方、コロナの影響で海外出張ができず、国際共同研究が制限されている現状もあり、そのような共同研究は遅れ気味である。以上により、研究全体としては、「おおむね順調に進展している」と評価できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
位数が小さい有限体上の線形符号に対する最適線形符号問題については、n_q(k,d) の値が未決定な場合の検討を引き続き行う。特に、Griesmer 限界に達する３元線形符号の非存在性について、詳細に調べたい。また、４元線形符号について新たに得られた拡張定理が最適線形符号問題に応用可能か否かも検討したい。新たな最適線形符号のコンピュータを用いた探索や構造解析も、大学院生と共に引き続き行う予定。未解決問題を含む低次元の n_q(k,d) の表は website で公開しており、随時更新する予定である。
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| Causes of Carryover |
当初計画していた複数の海外出張が新型コロナウイルス感染拡大のため全て実施できなくなり、次年度使用額が生じた。消耗品の購入や出張旅費等に使用する予定。
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Research Products
(9 results)
