2022 Fiscal Year Research-status Report
Geometric approach to the extendability of linear codes and optimal linear codes
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20K03722
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
丸田 辰哉 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80239152)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 線形符号 / 最適符号 / 符号の拡張可能性 / 有限射影幾何 / Griesmer 限界 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
q 元体（q 個の元から成る有限体）F_q 上の長さ（符号長） n, 次元 k, 最小重み d の線形符号（[n,k,d]q 符号）が存在する限界を決定する問題は、符号理論において最も基本的な研究課題の一つであり、最適線形符号問題（Optimal Linear Codes Problem）と呼ばれる。符号の誤り訂正限界を求めるには、[n,k,d]q 符号が存在するような最小重み d の最大値 d_q(k,d) を求めれば良いが、これは [n,k,d]q 符号が存在するような長さ n の最小値 n_q(k,d) を求める問題と等価である。線形符号が拡張可能であるための条件を射影幾何の手法を用いて新たに求め、その研究によって得られた知見を活用して最適な線形符号がもつ長さの最小値を確定したり、まだ発見されていない最適な線形符号のコンピュータによる探索や構造解析等を通して、最適線形符号問題の解決を目指すのが本研究の主目的である。
本年度は、主に３元体上の線形符号と q元体上の４次元線形符号の最適線形符号問題（n_3(k,d) と n_q(4,d) の決定問題）について取り組み、最小重み d が 9 を法として -2 である場合の新たな拡張定理を適用した３元線形符号の非存在証明や、符号語の重みが 16 を法として４種類しかない場合の新たな拡張定理を求めた。３元線形符号については、Griesmer 限界に達する符号が存在しないような最小重み d の最大値を求める問題にも取り組み、我々が提起した予想式について、９次元まで正しいことを証明することができた。これらの成果については、それぞれ国際学術雑誌に発表した。更に、一般の有限体上の５次元線形符号の存在限界について、韓国の研究者と共同研究を開始し、２月に招聘して今後の研究の方向性について打合せを行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」で述べたように、線形符号の拡張可能性と存在限界について、一定の成果が得られ、国際学術雑誌の論文として発表することができた。その一方で、コロナの影響で今年度も引き続き海外出張を自粛せざるを得ず、国際共同研究が制限されている現状もあり、そのような共同研究は少し遅れ気味である。以上により、研究全体としては、「おおむね順調に進展している」と評価できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
有限体上の線形符号に対する最適線形符号問題については、q = 8,9 などで n_q(k,d) の値が未決定な場合の検討を行う。また、Griesmer 限界に達する５次元線形符号の非存在性についても調べたい。特に、線形符号の非存在性証明に応用できるような、線形符号の拡張可能性に関連する様々な条件も検討したい。新たな最適線形符号のコンピュータを用いた探索や構造解析も、引き続き大学院生と共に行う予定。
未解決問題を含む低次元の n_q(k,d) の表は website で公開しており、随時更新する予定である。
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| Causes of Carryover |
当初計画していた複数の海外出張が新型コロナウイルス感染拡大のため全て実施できなくなり、次年度使用額が生じた。消耗品の購入や出張旅費等に使用する予定。
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