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2022 Fiscal Year Research-status Report

Geometric approach to the extendability of linear codes and optimal linear codes

Research Project

Project/Area Number 20K03722
Research InstitutionOsaka Metropolitan University

Principal Investigator

丸田 辰哉  大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80239152)

Project Period (FY) 2020-04-01 – 2024-03-31
Keywords線形符号 / 最適符号 / 符号の拡張可能性 / 有限射影幾何 / Griesmer 限界
Outline of Annual Research Achievements

q 元体(q 個の元から成る有限体)F_q 上の長さ(符号長) n, 次元 k, 最小重み d の線形符号([n,k,d]q 符号)が存在する限界を決定する問題は、符号理論において最も基本的な研究課題の一つであり、最適線形符号問題(Optimal Linear Codes Problem)と呼ばれる。符号の誤り訂正限界を求めるには、[n,k,d]q 符号が存在するような最小重み d の最大値 d_q(k,d) を求めれば良いが、これは [n,k,d]q 符号が存在するような長さ n の最小値 n_q(k,d) を求める問題と等価である。線形符号が拡張可能であるための条件を射影幾何の手法を用いて新たに求め、その研究によって得られた知見を活用して最適な線形符号がもつ長さの最小値を確定したり、まだ発見されていない最適な線形符号のコンピュータによる探索や構造解析等を通して、最適線形符号問題の解決を目指すのが本研究の主目的である。
本年度は、主に3元体上の線形符号と q元体上の4次元線形符号の最適線形符号問題(n_3(k,d) と n_q(4,d) の決定問題)について取り組み、最小重み d が 9 を法として -2 である場合の新たな拡張定理を適用した3元線形符号の非存在証明や、符号語の重みが 16 を法として4種類しかない場合の新たな拡張定理を求めた。3元線形符号については、Griesmer 限界に達する符号が存在しないような最小重み d の最大値を求める問題にも取り組み、我々が提起した予想式について、9次元まで正しいことを証明することができた。これらの成果については、それぞれ国際学術雑誌に発表した。更に、一般の有限体上の5次元線形符号の存在限界について、韓国の研究者と共同研究を開始し、2月に招聘して今後の研究の方向性について打合せを行った。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

「研究実績の概要」で述べたように、線形符号の拡張可能性と存在限界について、一定の成果が得られ、国際学術雑誌の論文として発表することができた。その一方で、コロナの影響で今年度も引き続き海外出張を自粛せざるを得ず、国際共同研究が制限されている現状もあり、そのような共同研究は少し遅れ気味である。以上により、研究全体としては、「おおむね順調に進展している」と評価できる。

Strategy for Future Research Activity

有限体上の線形符号に対する最適線形符号問題については、q = 8,9 などで n_q(k,d) の値が未決定な場合の検討を行う。また、Griesmer 限界に達する5次元線形符号の非存在性についても調べたい。特に、線形符号の非存在性証明に応用できるような、線形符号の拡張可能性に関連する様々な条件も検討したい。新たな最適線形符号のコンピュータを用いた探索や構造解析も、引き続き大学院生と共に行う予定。
未解決問題を含む低次元の n_q(k,d) の表は website で公開しており、随時更新する予定である。

Causes of Carryover

当初計画していた複数の海外出張が新型コロナウイルス感染拡大のため全て実施できなくなり、次年度使用額が生じた。消耗品の購入や出張旅費等に使用する予定。

  • Research Products

    (7 results)

All 2023 2022 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (2 results) Remarks (1 results)

  • [Int'l Joint Research] Gyeongsang National University(韓国)

    • Country Name
      KOREA (REP. OF KOREA)
    • Counterpart Institution
      Gyeongsang National University
  • [Journal Article] Nonexistence of some ternary linear codes with minimum weight -2 modulo 92023

    • Author(s)
      Sawashima Toshiharu, Maruta Tatsuya
    • Journal Title

      Advances in Mathematics of Communications

      Volume: 17 Pages: 1338~1357

    • DOI

      10.3934/amc.2021052

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the extendability of quaternary linear codes with four weights modulo 162022

    • Author(s)
      Kanda Hitoshi, Shirouzu Makoto, Maehara Kaito, Maruta Tatsuya
    • Journal Title

      Discrete Mathematics

      Volume: 345 Pages: 113102~113102

    • DOI

      10.1016/j.disc.2022.113102

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the nonexistence of ternary linear codes attaining the Griesmer bound2022

    • Author(s)
      Kawabata Daiki, Maruta Tatsuya
    • Journal Title

      Designs, Codes and Cryptography

      Volume: 90 Pages: 947~956

    • DOI

      10.1007/s10623-022-01021-7

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] On the non-existence of linear codes over the field of even order2022

    • Author(s)
      加藤敦也, 丸田辰哉
    • Organizer
      2022年度応用数学合同研究集会
  • [Presentation] On the achievement of the Griesmer bound2022

    • Author(s)
      川端大輝, 丸田辰哉
    • Organizer
      日本数学会秋期総合分科会
  • [Remarks] Griesmer Bound for Linear Codes over Finite Fields

    • URL

      http://mars39.lomo.jp/opu/griesmer.htm

URL: 

Published: 2023-12-25  

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