Research on multiple zeta value and calculation technology by a formula of systems of Boolean polynomial equations

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03727
• Research Institution: National Institute of Informatics
• Principal Investigator: 町出 智也 国立情報学研究所, ビッグデータ数理国際研究センター, 特任研究員 (60614526)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: Boolean多項式 / 充足可能性問題 / 多重ゼータ値 / 行列の階数

Outline of Annual Research Achievements

2020年度は、初期の研究課題として計画していた、多重ゼータ値の行列のランク計算のアルゴリズムの改良を行った。具体的には、重さ２１の場合のランクを計算した。また計算速度を向上させた。計算結果のランクの値は予想通りとなり、既に知られている、多重ゼータ値のベクトル空間の次元の上限と一致した。上限を与える具体的な生成元も知られているが、それは係数が有理数体の場合であった。今回の実験では、 mod 2 をした場合でもそれが生成元となること（つまり２元体上でも退化しないこと）がわかった。（ここで有理係数は正規化により整数係数に変換できることに注意する。）計算速度は、python言語のC言語版であるcythonの記述を改めること、並列化の処理を修正すること、により実現した。

また後期の研究課題として計画していた、Boolean多項式の連立方程式の公式を使用したアルゴリズムを研究した。公式には二分木(BDD, Binary Decision Diagram)の構造があるため、当初はその応用技術であるZDD(Zero-suppressed BDD)との関連を考察しようとしていた。しかし、グレブナ基底の基本的な技術である多変数のユークリッドの互除法がより有用でありそうなことがわかった。理由は互除法は足し算があっても影響はないが、ZDDでは xor を使うことになり取り扱いが難しくなるからである。（２元体の足し算は論理演算の xor になることに注意する。）ZDDより互除法の方がより代数的であり申請者にとって取り組みやすいため、そちらを組み込んだアルゴリズムを部分的に作成した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

Boolean多項式の連立方程式の公式に関する論文の手直しが必要になった。その論文は公式の証明と公式の計算量への応用を記述している。公式の証明は代数的であり計算量への応用は工学的なため、両方の分野の知識が必要になり、論文をまとめるのが難航している。そのため、多重ゼータ値のランクの計算の結果に関する論文の執筆が進んでいない。
研究自体は当初の計画通り順調に進んでいる。

Strategy for Future Research Activity

今後は論文の執筆を中心に作業し、遅れを取り戻す。並行して、多変数のユークリッドの互除法を使ったアルゴリズムを構築する。余裕があればZDDの技術もアルゴリズムに取り入れるつもりである。

Causes of Carryover

コロナウイルスの影響により研究集会がオンライン上で行われ旅費を使用する機会がなかった。次年度は状況が許す限り積極的に参加し、成果発表と情報収集をするつもりである。