2023 Fiscal Year Annual Research Report
Research on constructions of spherical designs and its approximate designs
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20K03736
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| Research Institution | Aichi Prefectural University |
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Principal Investigator |
平尾 将剛 愛知県立大学, 情報科学部, 准教授 (90624073)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 球面デザイン / 球面上の調和指数デザイン / D4格子 / コーナーベクトル法 / B型有限鏡映群 / 重み付き球面デザイン / 球面上のcubature公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 前年度から引き続き，面デザインを一般化した概念である「調和指数デザイン」の観点からD4格子のシェルの研究を行なった．D4型ルートシステム(正24胞体の頂点配置)は，一意的なtight antipodal {10, 4, 2}-design on S^3であることを示し，このことからD4ルート系の直交変換によるD4格子のシェルの分解，および, 素数 p> 5, p+1 ≠ 0 (mod 5)に対して，D4型ルート格子の2pシェルは6-designとならないこと(Lehmer予想の類似)を論文としてまとめた．この結果は国際会議で 1件，日本数学会で 1件での口頭発表を行い，また，Research in Number Theoryに採録されている．さらに後続研究として今回の正24胞体の頂点配置, D4型ルートシステムとその双対からなる48点配置，正600胞体の頂点配置を有限四元数群から捉え直し，線形計画限界などいくつかの結果を得ている．これらに関して，今後，学会発表および，論文としてまとめるため，現在準備を行なっている段階である．
2. 前年度から引き続き, Hirao et al.(2014)など扱ったB型の有限既約鏡映群のコーナーベクトル，および，その内分点集合を用いた球面上の重み付きデザインに対する「強さ」の上界に対する考察を共同研究により行った．
ヒルベルト恒等式やYuan Xuによる単体上のcubature公式へ帰着させる方法に加え，新たに「係数比比較法」を導入することにより, aを1ではない正の実数であるとしたとき，コーナーベクトル および，(a, 1,..,1 ,0, ..., 0)型のベクトル複数個のB型群軌道から得られるデザインの強さの限界は，3次元以上の超球面においては15以下であることなどを示すことを成功した．本研究は日本数学会での口頭発表2件を含む3回の口頭発表を行った．また，現在論文としてまとめあげる準備を行なっている段階である．
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