2020 Fiscal Year Research-status Report
ランダムネスを用いた非線型偏微分方程式の陰的数値解法の開発と数学モデルへの展開
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20K03738
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| Research Institution | Tokyo City University |
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Principal Investigator |
畑上 到 東京都市大学, 共通教育部, 教授 (50218476)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 陰的スキーム / 反応拡散系 / グレイースコット方程式 / ランダムネス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，数値解法で近似的に得られた幻影解も含む複雑な解構造に対して，確率論で導入されるランダムネスを導入して数値的に検証し，より信頼性の高い数値解を得る上で必要となる本質的な要因を探求する目的で研究を行っている．
２０２０年度においては，反応拡散偏微分方程式として代表的なグレイースコット方程式を対象に，陰的スキームを構築し，幻影解が出現する時間刻みパラメータ領域において，ランダムノイズ付加が解パターンの安定性に与える影響を調べた．そのために，数値実験のためのサーバーの導入，解析的アプローチのための数式処理ソフトの導入，数値計算結果を視覚的，直感的に把握する上で有効である，動画作成ソフトを導入した．
まず，数式処理ソフトにより，陰的スキームの離散力学系において，時間刻みをパラメータとしたときに，分岐によって幻影解が生じる解析的な裏付けを行った．
次に解析的な考察をもとにしたパラメータ領域での数値実験を行った．その結果として，微少なランダムネスは，時空カオスの出現を誘起することを明らかにした．また，極度に大きいランダムネスの付加は，移動する間欠波状パターンではなく，瞬間的なスポット解の生成・消滅を示す別の解パターンを誘起することを示した．また，比較的大きいランダムネス付加は，幻影解の安定性限界以下の時間刻みパラメータ領域において，時空カオスの出現を抑制し，幻影解の出現を促進させること，さらに時空カオスの出現において，初期条件の依存性を見かけ上消す効果があることを明らかにした．
以上の研究成果については，日本応用数理学会の第17回研究部会連合発表会において口頭発表を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
２０２０年度においては，新しいサーバーと数式処理ソフト，ならびに計算結果を視覚的，直感的に把握するための動画作成ソフトを導入し，ランダムネスが陰的スキームから得られる解構造にどのような影響を与えるかについて焦点をあてて研究を行ってきた．
その結果，比較的大きいランダムネス付加は，幻影解の安定性限界以下の時間刻みパラメータ領域において，時空カオスの出現を抑制し，幻影解の出現を促進させることが示された．この結果は，確率共鳴の現象とも関連していると推測されるが，新たな知見を与えるものであった．また，これは解の信頼性を向上していく上での重要な情報を与えられると考えられ，研究を遂行していく方向性として問題ないと判断している．
したがって，初年度の成果としてはある程度達成できていると判断できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
比較的大きいランダムネス付加が，幻影解の安定性限界以下の時間刻みパラメータ領域において，時空カオスの出現を抑制し，幻影解の出現を促進させることが示されたが，新たに，時空カオスの出現において，初期条件の依存性を見かけ上消す効果があることがわかった．
この点は，非常に興味深い研究対象であるので，信頼性の高い数値解を得る上で必要となる本質的な要因を探求する方針と並行して推進していきたいと考えている．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大による，国内及び国外への旅費がほとんど利用できなかったため，次年度以降に繰り越している．状況によっては，リモートによる研究集会や学会発表への参加が継続されることが予想されるが，その点については状況を見ながら執行していく予定である．
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Research Products
(1 results)
