2023 Fiscal Year Research-status Report
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20K03739
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
小川 知之 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (80211811)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | ３種競争拡散系 / 進行波 / パターン制御 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
反応拡散方程式系のパターン形成は散逸を伴う様々な非線形現象に関連して盛んに研究されてきた。しかし定常でなく振動的なパターンの場合は，大域的な振る舞いは極めて複雑で普遍的な理解に至っていない。一方，例えばある種の細胞などでは，あたかも膜上に現れる特定のタンパク質濃度の振動パターンを自在に制御しながら活動しているようにも見える。また振動化学反応でも，一見不規則に生起する振動パターンに光によるフィードバック制御を行うと，統率された定在波振動が観測されたりすることも知られている。つまり拡散振動場は多様・豊富なアウトプットを内在しており，生物などはそれを利用して低コストで制御していると考えられる。振動場反応拡散系を自律的にフィードバック制御することによりどの程度その挙動を律することができるか，所望するような振動パターンが得られるかという問題は，拡散現象の研究の裾野を拡げることに繋がると期待される。このような背景の元，本研究課題に先立つ研究課題では，２つの拡散結合振動子系に大域的なフィードバック制御を加えることで同相振動や交互振動を安定に出現させられること，さらに拡散係数を変えることで交互振動の分岐ブランチ（枝）の組み替えが生じることを明らかにした。かくして分岐構造のトポロジーの変化を利用し低コストで大変形の制御を可能にする，すなわち，分岐構造的特性を利用して系の挙動をコントロールする「アクティブなパターン制御」という新たな視点を導入した。今年度は特に、3種競争拡散系の進行波の大域的分岐構造の解析、コンパクトメトリックグラフ上の反応拡散系で分岐解析を行い、これらに対しても「アクティブなパターン制御」を可能にするための検討を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、3種競争拡散系の進行波の大域的分岐構造の解析を進めた。強い競争系の仮定の元で既存の２種が進行波を形成しているときにその緩衝地帯で外来種の侵入が可能となるかという問題は、外来種の増加率に関する分岐として捉えることが可能で、分岐点の存在、局所的な分岐構造が明らかになった。さらに分岐ブランチを数値的に追跡すると、それはヘテロクリニックグルーイング分岐にたどり着くことがわかってきた。実際、外来種と２つの既存種による２通りの進行波を２種類のヘテロクリニック軌道として捉えると、この２つの進行波の速度が一致するところでgenericにはヘテロクリニックグルーイング分岐が発生する。数値的な分岐追跡結果は局所分岐のブランチとヘテロクリニックグルーイング分岐がつながっていることを示唆している。ただし、この大域ブランチはパラメーターによっては途中でサドルノード分岐を経由したり、それにより安定性も変化するので、分岐構造を包括的に理解することが重要で、それが実現すると競争拡散系での「アクティブなパターン制御」につながる。
また、コンパクトメトリックグラフ上の反応拡散系で分岐解析を行うため、固有値問題、固有関数に関する研究を行った。サークルを追加して作られるコンパクトメトリックグラフの系列に関して固有値が類似の構造を持ちそれにより奇数次・偶数次モードの重複度を求めることができることがわかった。また双葉グラフ上での分岐解析結果をAIMS国際会議などで発表した。
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| Strategy for Future Research Activity |
3種競争拡散系の進行波の大域的分岐構造の解析に関して、数学的な検証を進める。我々が行った局所分岐解析に対して、ヘテロクリニックグルーイング分岐に関しては、台湾のChiun-Chuan Chen氏とChueh-Hsin Chang氏が、３種拡散系に当てはめて分岐条件を整理し、いくつかの厳密解がこの条件を満たすことを確認している。そこで、それぞれの結果を相互検討することで数学的な理解を少しでも進めたい。例えば３種拡散系が既存の２種に関して対称な場合に分岐ブランチの一意性が数学的に理解できるかなどを検討する。
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| Causes of Carryover |
上に述べたように、3種競争拡散系の進行波の大域的分岐構造の解析に関して、もう少し検討することが必要になった。またそのためには、台湾の研究グループとの集中的なディスカッションが必要で、ちょうど2024年4月であれば、研究代表者がまとまった時間が取れることを勘案し、台湾での研究費を次年度に使用することとした。
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