2021 Fiscal Year Research-status Report
A mathematical study of dimensionality reduction and embedding by theories of delay-coordinate systems and algebraic geometry
| Project/Area Number |
20K03747
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
中野 直人 京都大学, 国際高等教育院, 特定講師 (30612642)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石塚 裕大 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (50761136)
宮路 智行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20613342)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 遅延座標系 / 代数幾何学 / 次元縮約 / 埋め込み理論 / データ駆動型解析 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，力学系に従って得られる時系列データから，力学系を再構成する手法を理論的に構成する手法について研究を行った．データ駆動的モデリングで用いられる遅延座標埋め込みによる力学再構成手法と代数幾何学の消去理論を統合したモデリング手法を本課題では提案しているが，元の力学系からその部分的な観測変数だけで閉じた空間への射影と，その部分変数から元の力学系全体への復元の両者の対応関係を Groebner 基底を用いて理論的に与えることが可能となった．この手法における重要な問題点は，力学系の復元によって得られる変数の適切な選択である．復元によって得られる変数は，相空間内での座標回転等の変数変換に対する冗長性を有する．さらに，元の力学系の次元より大きな次元の空間でも再構成自体は可能である．これは部分変数への空間への射影が単射でないことから明らかに起こることである．そのため，本研究では元の力学系を正規方程式と仮定し，その場合に正規系として復元することと冗長な次元の空間までブローアップさせないことを制限においた復元手法を確立した．また，データ駆動モデリングにおいては，pathwise の時系列の予測ではなく，力学系の構造自体を復元することが重要である．ここでは力学系の構造を解析する手法の一つであるモース分解との関連や，ランダムネットワークを用いた再帰的ニューラルネットワークを用いた力学系の再構成手法の学習性能について成果を得ることができた．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2021年度は当初計画と合わせ，データ駆動モデリングに関係する他の手法の成果も得られたことが主な理由である．研究代表者の機械学習的手法の知見と，研究分担者の持つ力学系と代数幾何学の知見を合わせ，オンラインミーティングのツールを駆使した議論を経て得ることができた．
|
| Strategy for Future Research Activity |
2022年度はこの２か年で得られた成果に基づき，力学系の縮約と復元に関してデータ解析を行う．データから観測変数で閉じた方程式の導出と，そこからの元の力学系の再構成の数値検証が主な目的である．また，Groebner基底による手法は計算コストが高いため，その代替的な手法の考案と試行に着手する．それらと加えて，ランダムネットワークと遅延座標系を組み合わせたデータ駆動モデリング手法の開発も検討する．
|
| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は，この２年間のコロナ禍のため，出張と招聘の旅費に制限があったことが理由である．2022年度は，感染症の社会的な状況を見つつ，研究打ち合わせや成果発表のための出張旅費としての使用計画を考えている．また，2022年度は計算機の購入を計画していたため，スペックを上げて研究効率の向上を図ることも考えている．
|
