2022 Fiscal Year Research-status Report
A mathematical study of dimensionality reduction and embedding by theories of delay-coordinate systems and algebraic geometry
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20K03747
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
中野 直人 明治大学, 先端数理科学研究科, 特任准教授 (30612642)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石塚 裕大 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (50761136)
宮路 智行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20613342)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 遅延座標系 / 代数幾何学 / 次元縮約 / 埋め込み理論 / データ駆動型解析 / ランダムネットワーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では前年度までから引き続き，力学系に従って得られる時系列データから，力学系を再構成する手法を理論的に構成する手法について研究を行った．本課題で提案している遅延座標埋め込みによる力学再構成手法と代数幾何学の消去理論を統合した正規方程式を導出するモデリング手法について研究を行った．正規方程式を縮約して得られるモデルから，モデル復元として本研究で提案しているブローアップ手法を用いた場合に，必ずしも元の式に戻るとは限らない問題がある．その場合の元のモデルと復元で得るモデルとの関係性を調べた．本研究におけるアルゴリズムは，モデリング対象のデータが生成された力学系が，多項式モデルではなく有理式で与えられる場合でも適用可能であり，結果として高次元空間における正規方程式を与える．見かけ上自由度が高くなるが，補助変数を付加したことで次元を拡大した空間でモデリングしていることになっているため，実用上，データ駆動的にモデルを得る場合には注意が必要であることがわかった．さらに，ランダムネットワークと遅延座標系を組み合わせたデータ駆動モデリング手法による時系列予測タスクの性能評価に取り組んだ．これは，力学系の再構成において高い予測精度を達成するネットワーク構造を探索することを目指すものである．予測精度や構成したモデルのリアプノフ指数を元の力学系と比較することで，力学再構成の評価を行い，提案手法の有効性を示すことができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2022年度は当初計画に沿う形で，ランダムネットワークに学習能力に関する研究成果を挙げられたことが主な理由である．研究代表者の機械学習的手法の知見と，研究分担者らの持つ力学系と代数幾何学の知見を合わせて得ることができたと言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
2023年度はこの3年間で得られた成果に基づき，力学系の縮約と復元に関する数理科学的研究とそれに基づくデータ解析を行う．データから観測変数で閉じた方程式の導出と，そこからの元の力学系の再構成の数値検証が主な目的である．また，力学系の縮約と復元の枠組みを機械学習手法と組み合わせることで，ランダムネットワークと遅延座標系を組み合わせたモデルに対する学習可能性の数理的描像を調べることにする．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は，この3年間のコロナ禍のため，出張と招聘の旅費に制限があったことが理由である．2023年度は研究打ち合わせや成果発表のための出張旅費としての効果的な使用を計画している．
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