2021 Fiscal Year Research-status Report
曲面・曲線からなる曲率流に対する近似アルゴリズムとそれを用いた広義解の性質の研究
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20K03748
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (00360967)
上田 好寛 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (50534856)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 閾値型近似アルゴリズム / 平均曲率流 / Willmore 流 / 正則性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
石井は Willmore 流に対する閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。4 階熱方程式や 2 階の項をもつ線形 4 階放物型偏微分方程式について、その基本解を Taylor 展開することによって閾値型近似アルゴリズムを構成した。更に 4 階熱方程式の場合には、解の挙動を詳しく調べることにより、その解を使って定義される閾値集合の性質やその境界での解の勾配評価を得た。この証明には半空間に対する定義関数を初期値とする 4 階熱方程式の解のある種の正値性が鍵となっている。2 階の項をもつ線形 4 階放物型偏微分方程式の解を用いて定義される閾値集合の場合にも同様の性質が得られると考えており、研究を進めている。
高坂はWillmore汎関数に表面積 (曲線の場合は長さ) 汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流について、閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。低階項をもつ線形 4 階放物型偏微分方程式の基本解の Taylor 展開をもとに、上記の勾配流に対する閾値型近似アルゴリズムを構成した。解を用いて定義される閾値集合について、その境界における解の勾配評価について研究を進めている。
上田はこれまでに研究を進めてきた対称双曲型偏微分方程式系の安定性解析に関する研究に着手し、既知の結果の拡張に成功した。また、一般論の拡張にあたってその最適性に関する問題が浮上したが、京都大学の前川泰則氏と共にその最適性に関する条件の導入にも着手し、ある一定の結果を得ることに成功している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Willmore 流に対する閾値型近似アルゴリズムの研究については、4 階熱方程式および 4 階放物型偏微分方程式を基にしており、これらの方程式に対する解の性質を調べることが重要である。しかし、2 階熱方程式および 2 階放物型偏微分方程式の場合に比べて 4 階の場合は研究の蓄積が少ない上に、2 階の場合とは根本的に異なる部分もあり、2 階の場合にはほぼ自明、あるいは証明が容易であること (例えば、解の一意性やある種の正値性) でも面倒な証明が必要になってくる。その証明を与えることに予想以上に時間がかかっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
Willmore 流に対する閾値型近似アルゴリズムについては空間次元を 2 または 3 と制限した上で収束の証明を与える。いままでの研究で閾値集合の境界はなめらかな曲線や曲面になることが予想されるので、それらの先見的評価を導き、極限を取ることで閾値型近似アルゴリズムの収束の証明を与える。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染症の影響によって、研究情報の収集や研究連絡・打ち合わせのための出張が全くできなかった。次年度使用額と翌年度分として申請した助成金は前述の出張旅費や関連した研究を行っている研究者の招聘旅費、専門書の購入や資料収集のために使う予定である。
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