2022 Fiscal Year Research-status Report
曲面・曲線からなる曲率流に対する近似アルゴリズムとそれを用いた広義解の性質の研究
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20K03748
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (00360967)
上田 好寛 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (50534856)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / Willomore 流 / 表面拡散流 / 閾値型近似アルゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
石井は Willmore 流に対する閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。4 階熱方程式や 2 階の導関数をもつ 4 階線形放物型方程式の解を用いて閾値型近似アルゴリズムを構成した後、解の挙動を詳しく調べることによって、その解を用いて得られる閾値集合の性質がかなり精密な形で得られた。また、その境界近傍での解の勾配評価や第 2 次偏導関数の詳しい評価を導した。更に、法線方向速度に関しても時間変数についてのオーダーを評価した。これらの結果を用いて最初の 1 ステップだけではあるが、閾値集合の境界が Willmore 流の近似になっていることを示した。そのときの剰余項も評価した。
高坂は曲面の表面積 (曲線の場合はその長さ) が一定という条件が課された Willmore 流に対して、4 階線形放物型方程式を用いた閾値型近似アルゴリズムの研究を行っている。平均曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムとは異なり、比較原理や順序保存性が成り立たないので、このアルゴリズムにうまく適合したエネルギー汎関数を定義し、それを用いることでアルゴリズムの収束を証明する必要がある。そこで、閾値集合を定義する関数を基にしたエネルギー汎関数を定義し、その性質等を研究を進めている。
上田は時間遅れの項をもつ常微分方程式系に対して今までに知られていない漸近安定性に関する条件を導き、人口移動や神経回路網に現れる時間遅れの項をもつ常微分方程式系に応用し、解の安定性を得た。時間遅れの項をもつ Burgers 方程式に対する時間大域解の存在とその漸近挙動を研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Willmore 流に対する閾値型近似アルゴリズムの研究については 4 階熱方程式や 4 階線形放物型方程式の解の性質を調べることが重要である。しかし、2 階熱方程式や 2 階線形放物型方程式の場合に比べて研究の蓄積が少なく、2 階の場合とは根本的に異なる部分もあり、2 階の場合にはほぼ自明、あるいは証明が容易であること (例えば、解の一意性や順序保存性) でも面倒な証明が必要である。また、解の各点評価やエネルギーの評価をする場合、かなり高い階数の導関数まで計算しなければならず、必然的に計算量が多くなることも理由の1 つである。
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| Strategy for Future Research Activity |
Willmore 流に対する閾値型近似アルゴリズムついては若干ではあるが進展が見られたので、それらの結果を基に収束の証明を研究する。また、空間曲線からなる曲率流に対する閾値型近似アルゴリズムの収束の証明にも取り組む。
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| Causes of Carryover |
2020 年度、2021 年度は新型コロナウィルスの影響で日本国内外の出張が全くできなかった。2022 年度は研究連絡等のために国内出張はいくつかできたが、外国出張が思うようにできなかった。
2023 年度は研究連絡、情報収集、成果発表等の旅費に科研費を使う予定である。更に、必要に応じて、文献の購入・複写や消耗品の購入にも充てる。
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