2020 Fiscal Year Research-status Report
Studies on game theory by Lefschetz fixed point theorem and discrete fixed point theorems
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20K03751
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
川崎 英文 九州大学, 数理学研究院, 名誉教授 (90161306)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 不動点定理 / ゲーム理論 / 中間値の定理 / ポワンカレ・ミランダの定理 / アダマールの定理 / マルコフ・角谷の共通不動点定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
さまざまな離散不動点定理の研究をおこない，それらのゲーム理論への応用を図っている．研究代表者のこれまでの研究により，戦略形ゲームや展開形ゲームに対して純戦略ナッシュ均衡の存在を示すことができた．本研究は不動点定理を用いることにより，純戦略ナッシュ均衡と混合戦略ナッシュ均衡の中間の均衡概念を提唱することを目的としている．2020年度の研究成果は以下の(1)(2)である．
(1) マルコフ・角谷の共通不動点定理の離散版を与えた．つまり，離散凸解析の２本柱のひとつであるL凸集合からそれ自身への複数個の写像が共通不動点をもつための十分条件を与えた．これは離散凸解析と不動点理論の融合という独創性の高い理論的研究である．研究成果を国内の２つのオンライン研究集会で発表し，2021年に英文誌に掲載されることが決まっている．
(2) 中間値の定理をn次元ユークリッド空間に拡張した．その証明にはポワンカレ・ミランダの定理を用いた．ポワンカレ・ミランダの定理は，閉区間[-1,1]のn個の直積集合からn次元ユークリッド空間への連続写像が零点をもつための十分条件を与えたものであり，ブラウワーの不動点定理(1911)と同値であることが知られている．アダマール定理(1909)はポワンカレ・ミランダの定理に影響を与えた定理で，閉単位球からn次元ユークリッド空間への連続写像が零点をもつための十分条件を示している．本研究では両者を含む形の拡張を与えることに成功した．
n次元中間値の定理のゲーム理論に応用するために，さらなる拡張の研究を進めている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナの感染拡大により，関連分野の学会，研究集会，セミナーは延期あるいはオンラインで実施された．また，大学での講義やセミナーもすべてオンライン形式となり，その準備で膨大な時間を割かれることになった．このような劣悪な研究環境下にもかかわらず，独創性の高い(1)(2)の研究成果を得たことは大変有意義であった．特に(2)の研究成果は戦略形ゲームに対する均衡概念に新風を吹き込む可能性を秘めており，引き続き精力的に研究を進めているところである．
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究実績の概要」で述べた(2)の研究成果をさらに拡張して，ゲーム理論への応用を図る．具体的には以下の課題に取り組む．
(a) n次元中間値の定理のゲーム理論への応用を図る．それにより各プレイヤーが2つの純戦略をもつ戦略形ゲームに対して，ナッシュ均衡とは発想が異なる解概念の導入が期待できる．
(b) 今年度に得たn次元中間値の定理では各プレイヤーの純戦略が2つの場合しか扱えないため，n次元中間値の定理の一層の拡張をおこなう．
(c) (b)を解決できれば，ポワンカレ・ミランダの定理やアダマール定理も同じ方向の拡張が可能と考えられる．併せて取り組みたい．
(2)の研究のきっかけは京都大学数理解析研究所のオンライン研究集会「非線形解析学と凸解析学の研究」に参加したことである．2021年度もその研究集会が開催されることになっている．これ以外に最適化やゲーム理論に関連する研究集会や「組合せ最適化セミナー」が数理解析研究所で予定されており，それらに参加して研究成果を発表したい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナの感染拡大により，関連分野の学会，研究集会，セミナーが延期あるいはオンラインで実施され，予定していた出張を取り止めたため次年度使用額が生じた．
通信環境の一層の充実を図るために，コンピューター周辺機器や有料版Zoomを購入する．具体的には，世話人として12月にハイブリッド開催する第26回情報・統計科学シンポジウムで使用する予定である．また，特別講演者として本研究課題に関連する研究者を招聘する計画である．秋はオンラインで開催される日本オペレーションズ・リサーチ学会等の有料の国内外の学会，研究集会への参加を計画している．
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