2021 Fiscal Year Research-status Report
Studies on game theory by Lefschetz fixed point theorem and discrete fixed point theorems
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20K03751
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
川崎 英文 九州大学, 数理学研究院, 名誉教授 (90161306)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 不動点定理 / ゲーム理論 / 中間値の定理 / アダマールの零点定理 / ポワンカレ・ミランダの定理 / 凸解析 / 劣微分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
連続写像や離散写像の不動点定理の研究をおこない，それらのゲーム理論，凸解析，離散凸解析への応用を図っている．研究代表者のこれまでの研究により，戦略形ゲームや展開形ゲームに対して純戦略ナッシュ均衡の存在を示すことができた．本研究はレフシェッツの不動点定理を用いることにより，純戦略ナッシュ均衡と混合戦略ナッシュ均衡の中間の均衡概念を提唱することを目的としている．2021年度の研究成果は以下の(1)(2)(3)である．
(1) マルコフ・角谷の共通不動点定理を，離散凸解析のLナチュラル凸集合上で展開した論文が英文誌に掲載された．
(2) ポワンカレ・ミランダの定理を用いてn次元中間値の定理を与え，戦略形n人ゲームに応用した．その内容は混合戦略で実現可能な，各プレイヤーの利得の範囲を与えたものである．これらの研究成果を日本オペレーションズ・リサーチ学会で発表し，英文誌に投稿した．
(3) アダマールの定理(1910)はn次元閉球からn次元ユークリッド空間への連続写像に対する零点定理である．アダマールの定理はポワンカレ・ミランダの定理やブラウワーの不動点定理(1911)と同値な定理であるが，これまで応用される機会が少なかった．本研究では写像の定義域を内部が空でない有界閉凸集合として，写像を集合値写像に拡張した．さらに，集合値写像の零点定理を凸解析に応用して，劣微分の零点の存在，すなわち，停留点の存在定理を与えた．
(4) 不動点定理とそのゲーム理論への応用に関する招待講演を日本オペレーションズ・リサーチ学会九州支部会でおこなうなど，研究内容の公開に努めた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(1) 新型コロナの感染拡大により，関連分野の学会，研究集会は中止，あるいはオンラインで開催されることになった．また，大学での講義の大半がオンライン形式となり，その準備に時間を割かれた．このような研究環境下にもかかわらず，独創性の高いの研究成果を得たことは有意義であった．
(2) オンラインで研究成果の発表をおこない，研究成果を英文誌に投稿した．また，投稿中の論文が英文誌に掲載されるなど，研究成果の公開も順調である．
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| Strategy for Future Research Activity |
(a) 研究実績の概要(2)で述べた，n次元中間値の定理の戦略形n人ゲームへの応用は，各プレイヤーの純戦略が2つの場合に対するものであった．純戦略が3つ以上の一般的なn人ゲームへの拡張に取り組みたい．
(b) 研究実績の概要(3)で述べた，アダマールの定理の集合値写像への拡張と凸解析へのその応用を，劣微分の拡張であるクラーク劣微分に拡張したい．
(2)の研究のきっかけは京都大学数理解析研究所の研究集会「非線形解析学と凸解析学の研究」にオンライン参加したことである．2022年度は8月末に同名の研究集会が開催される予定である．本研究集会を始めとして，日本オペレーションズ・リサーチ学会年会，日本数学会年会に参加し，研究成果を発表したい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナの感染拡大により，関連分野の学会，研究集会が中止あるいはオンラインで開催され，予定していた出張を取り止めたため次年度使用額が生じた．
通信環境の一層の充実を図るために，コンピューター周辺機器や有料版Zoomを購入するる日本オペレーションズ・リサーチ学会を始めとする有料の国内外の学会，研究集会への参加を計画している．
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