2023 Fiscal Year Research-status Report
Studies on game theory by Lefschetz fixed point theorem and discrete fixed point theorems
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20K03751
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
川崎 英文 九州大学, 数理学研究院, 名誉教授 (90161306)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | ボルスク・ウラムの定理 / 対心定理 / 非線形最適化 / ハムサンドウィッチ定理 / 不動点定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は代数トポロジーを用いることにより連続写像や離散写像の不動点定理を研究し，それらのゲーム理論，最適化理論への応用を図ることを目的としている．前年度までの研究ではブラウワーの不動点定理やそれと同値なポアンカレ・ミランダの定理を用いたが，2023年度はそれらより強力なボルスク・ウラムの定理を用いた．2023年度の研究成果は以下の(1)(2)である．
(1)ボルスク・ウラムの定理の応用としてはハムサンドウィッチ定理，ネックレス分割定理などがよく知られている．ハムサンドウィッチ定理の手法を参考に，パラメトリックな非線形最適化問題の最適値関数に対してボルスク・ウラムの定理を適用することにより，非線形最適化問題に対して対心定理を与えた．さらに，目的関数として内積をとることにより，ハムサンドウィッチ型の定理を与えた．その研究成果を京都大学数理解析研究所，日本オペレーションズ・リサーチ学会，情報・統計科学シンポジウムで発表し，論文２篇を英文誌に投稿し，内１篇が掲載された．
(2) (1)の研究では集合値写像を用いてパラメトリックな非線形最適化問題を定式化した．ボルスク・ウラムの定理を適用するには，最適値関数が連続をでなければならない．その連続性を保証するために強い仮定を設ける必要があった．そこで，(1)とは別のパラメトリック最適化問題を導入し，弱い仮定の下で対心定理を与えた．ここでも目的関数として内積をとることによりハムサンドウィッチ型の定理を与え，(1)のハムサンドウィッチ型定理との関係を明らかにした．その研究成果を日本オペレーションズ・リサーチ学会で発表し，論文１篇を英文誌に投稿した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度に引き続き，京都大学数理解析研究所の研究集会で１件，日本オペレーションズ・リサーチ学会で２件，情報・統計科学シンポジウムで１件，研究成果を計４件発表した．論文１篇が英文誌に掲載され，京都大学数理解析研究所講究録に和論文１篇が掲載された．その他，２編を英文誌に投稿中である．このように，本研究課題の進捗状況は順調である．
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| Strategy for Future Research Activity |
ハムサンドウィッチ定理はn次元ユークリッド空間のn個のコンパクト集合に対して，それらの体積を同時に2等分する超平面が存在することを主張する．本研究で与えた2つのハムサンドイッチ型定理は集合幅を同時に2等分する超平面が存在することを主張する．それに加えて，研究実績の概要(2)で述べたハムサンドイッチ型定理は，n個のコンパクト集合に対して，ある中央値を基準に任意の評価が可能なことを主張する．これは従来のハムサンドウィッチ定理にはない新しい結果であり，その一般化を推し進める．研究成果を日本オペレーションズ・リサーチ学会，日本数学会，京都大学数理解析研究所の研究集会等で発表する予定である．
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| Causes of Carryover |
令和2年度から令和4年度までは新型コロナの影響で関連分野の国内外の学会やシンポジウムが中止あるいはオンライン開催となり，予定していた出張を取り止めたため当初計上していた出張旅費の一部が未使用となった．新型コロナの感染状況が改善されたので，日本オペレーションズ・リサーチ学会を始めとする国内の学会，研究集会への参加を増やす予定である．さらに，7月にカナダのモントリオールで開催される国際数理計画シンポジウム（ISMP2024）に参加し研究成果を発表する予定である．また，英文誌の掲載料が予定される．
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