2022 Fiscal Year Research-status Report
Regression models for directional data
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20K03759
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| Research Institution | The Institute of Statistical Mathematics |
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Principal Investigator |
加藤 昇吾 統計数理研究所, 数理・推論研究系, 准教授 (60468535)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 統計数学 / 回帰分析 / 方向統計学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022年度は２つのテーマで研究を行った。具体的には、「(i)球面上の回帰モデルに関する研究」と「(ii)トーラス上の確率分布および関連した回帰モデルの研究」を行った。以下、それぞれの研究について説明する。
はじめに、「(i)球面上の回帰モデルに関する研究」を説明する。この研究では、被説明変数がp次元単位球面、説明変数がq次元単位球面に値をとる回帰モデルを提案した。回帰曲線は、立体射影・尺度変換・立体射影の逆写像から成る合成変換として定義され、次元の異なる２つの単位球面間の写像となっている。また、誤差分布としては、球面上の確率分布であるscaled von Mises-Fisher分布（Scealy and Wood, 2019）を仮定した。この回帰モデルの性質を調べ、回帰曲線が陽に表されることや、それぞれのパラメータの解釈が容易であることを明らかにした。また、回帰曲線は、説明変数をそれぞれの座標軸についてrescaleすることが可能な柔軟な変換となっている。さらに、回帰曲線は、特別な場合として、球面上のよく知られて変換であるメビウス変換（Downs and Mardia, 2002; Kato and McCullagh, 2020）および回転を特別な場合として含むことも明らかにした。
２つめの研究テーマとして、「(ii)トーラス上の確率分布および関連した回帰モデルの研究」を行った。この研究では、2021年度に提案した３次元トーラス上の確率分布および関連した回帰モデルを拡張し、一般次元トーラス上の確率分布および関連した回帰モデルを与えた。そして、拡張された確率分布が、トーラス上のコピュラとなることを明らかにした。また、１つを除くすべての変数を与えたときの１変量条件付き分布は円周上のコーシー分布となり、関連した円周上の回帰モデルが導くことが可能であることを明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
進捗状況は、「おおむね順調に進展している」とした。これは、交付申請書に記載した「研究の目的」を4年間で達成するために3年目として十分な進捗が得られたため、および、関連する新たな方向性での研究結果が得られたためである。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策は、「研究実績の概要」の「(i)球面上の回帰モデルに関する研究」で提案した回帰モデルのパラメータ推定法の提案および実データへの応用を議論することである。回帰モデルの誤差分布としては、scaled von Mises-Fisher分布を用いているが、回帰曲線に複数のパラメータを含んでいるため、分布そのもののパラメータ推定よりも複雑な問題となっている。具体的なパラメータの推定法としては最尤法を考えているが、もしうまくいかない場合には、パラメータのいくつかは別のアプローチから推定し、それらを尤度関数に代入することで推定問題を単純化することを検討する。あるいは、誤差分布としてscaled von Mises-Fisher分布とは異なる分布を用いることで、パラメータ推定における問題を解決することを試みる予定である。また、実データへの応用については、応用研究の経験が豊富な共同研究者と協力し、回帰モデルの当てはめとその解釈などについて議論する予定である。
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| Causes of Carryover |
【次年度使用額が生じた理由】 新型コロナウイルス感染症の流行により、予定していた国内外の出張を行うことができず、研究計画調書の提出時に見積もっていた旅費を使用しなったためである。
【使用計画】 論文のオープンアクセス化の費用等に充てることを予定している。
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