2020 Fiscal Year Research-status Report
位相的時空間解析に向けたノイズ安定性の解明：導来同値の活用
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20K03760
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| Research Institution | Institute of Physical and Chemical Research |
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Principal Investigator |
吉脇 理雄 国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 客員研究員 (90613183)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 位相的時空間解析 / ２パラメータパーシステントホモロジー / ノイズ安定性 / 導来同値 / Auslander-Reitenクイバー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は位相的時空間解析を確立するのに必須である2パラメータパーシステントホモロジーについての、データのノイズに対する安定性を明らかにすることである。より具体的には、導来同値を用いてより取り扱いやすいものへと帰着させる考えに基づいて、安定性の代数部分である代数的安定性定理を以下のように明らかにすることであった。(い) 2パラメータパーシステントホモロジーと導来同値な対象で代数的安定性定理を示すこと。(ろ)代数的安定性定理は、導来同値のもとで伝播すること。(は)代数的安定性定理は、導来圏から制限可能であること。(に) 2パラメータパーシステントホモロジーと導来同値な対象について、その導来圏へ(い)の結果を拡張すること。
上述の目的のため、まずは「ノイズに対する安定性が導来同値と両立することを明らかにする」ことを計画していた。具体的には（い）、（ろ）、（は）の３つであり、これら３つについて導来圏の性質から安定性に用いる距離を適切に定めることによって明らかにすることができた。
さらに、上記の結果と本研究の準備研究である「1パラメータパーシステントホモロジーの代数的安定性定理の導来圏への拡張」を合わせることで、時系列解析で用いられるジグザグパーシステントホモロジーの代数的安定性定理の別証明を与えることができた。さらにこの設定で得られた距離と既存の距離との比較研究も行うことができた。これは本研究の手法が代数的安定性定理を導く上で有効な手段であることを明確にした。（い）、（ろ）、（は）のエッセンスを含むこの結果についてはアーカイブarXiv:2006.06924（投稿中）にて発表済みである。
なお、ATMCSなど国際会議で発表予定であったが、コロナ禍のため、軒並みキャンセルとなったことを申し添える。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
計画では、一年目に「ノイズに対する安定性が導来同値と両立することを明らかにする」こと、すなわち、研究実績の概要で述べた（い）、（ろ）、（は）の３つに取り組むこととなっていた。これら３つについて計画通り、明らかにすることができた。
加えて、上述の結果の帰結として得られたジグザグパーシステントホモロジーの安定性定理の別証明から、本研究の手法が代数的安定性定理を導く上で、有効な手段であることを明確にできたことは重要である。
（い）、（ろ）、（は）のエッセンスを含んだ、ジグザグパーシステントホモロジーの安定性定理の別証明についてはアーカイブarXiv:2006.06924にて発表済みかつ投稿中である。
以上により、本研究はおおむね順調していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
計画の2年目以降は(a)2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し、ノイズに対して安定であることを明らかにすること、(b)既存研究との比較により、それらを包括した研究となっていることを明らかにすることを順次行う予定である。
（a）では、研究実績の概要で述べた（に）2パラメータパーシステントホモロジーの導来同値な対象について代数的安定性定理が導来圏へ拡張できることを明らかにすることからはじめ、その帰結として2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し，代数的安定性定理を示すことを目指す。拡張については最低２種類の方法（直接的に導来圏の対象の特徴付けを行うことと，導来圏の分解の道具である recollement を用いること）を用いる予定である。
なお、距離が提案された段階から(b)の比較研究へと移ることとする。その際には導来同値と出力であるパーシステント図(=Auslander-Reitenクイバー)の関係を緊密に調べねばならないことはジグザグパーシステントホモロジーの安定性定理の別証明についての研究（arXiv:2006.06924）から示唆されている。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由はコロナ禍のため、海外出張含め出張や研究者の招聘が全てキャンセルとなったからである。今年度分の使用計画としては、全体としてオンラインで行われることが固まってきた、研究集会や会議への参加および発表のための準備に対して、新たに充てる。また、ワクチンが行き渡った今年度後半から可能となるであろう国内出張へも充てる計画である。
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