2021 Fiscal Year Research-status Report
位相的時空間解析に向けたノイズ安定性の解明：導来同値の活用
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20K03760
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| Research Institution | Institute of Physical and Chemical Research |
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Principal Investigator |
吉脇 理雄 国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 客員研究員 (90613183)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 位相的時空間解析 / ２パラメータパーシステントホモロジー / ノイズ安定性 / 導来同値 / Auslander-Reitenクイバー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は位相的時空間解析を確立するのに必須である2パラメータパーシステントホモロジーについての、データのノイズに対する安定性を明らかにする ことである。より具体的には、導来同値を用いてより取り扱いやすいものへと帰着させる考えに基づいて、安定性の代数部分である代数的安定性定理を以下のよ うに明らかにすることであった。(い) 2パラメータパーシステントホモロジーと導来同値な対象で代数的安定性定理を示すこと。(ろ)代数的安定性定理は、導来同値のもとで伝播すること。(は)代数的安定性定理は、導来圏から制限可能であること。(に) 2パラメータパーシステントホモロジーと導来同値な対象について、その導来圏へ(い)の結果を拡張すること。 昨年度は（い）、（ろ）、（は）を達成し、本研究の手法が代数的安定性定理を導く上で、有効な手段であることを明確にできた。そのため今年度は引き続いて（に）について取り組んだ。具体的には2パラメータパーシステントホモロジーと導来同値な対象について、(い)の結果をその導来圏へ一部拡張でき、結果として、全体ではないが、一部の2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し、代数的安定性定理を示した。すなわち、今年度の計画していた（に）と（に）の結果として(ほ)2パラメータ パーシステントホモロジーの新たな距離を提案し，代数的安定性定理を示すことについて一部目標が達成された。
なお、国内の研究集会や国際会議で発表済み。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
計画では、二年目に「2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し，ノイズに対して安定であることを明らかにする」こと、すなわち、研究実績の概要で述べた（に）とその結果として(ほ)を得ることに取り組むこととなっていた。今年度は（に）（結果として（ほ）も）一部を達成できた。すなわち、新しく一部ではあるが、2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し、代数的安定性定理を示せたことは重要である。一方、（に）の困難さは研究提案の当初から想定していたが、そのための具体策として考えていた「直接的に導来圏の対象を特徴付けを行うことと，導来圏の分解の道具である recollement を用いること」が現時点ではうまく機能しておらず、したがってやや遅れていると判断した。
この遅れを取り戻すため、文献にあたるだけでなく、今年度も困難を伴っていた他研究者との交流を増やしたいと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
計画の２年目以降は(a)2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し、ノイズに対して安定であることを明らかにすること、(b)既存研究との比較により、それらを包括した研究となっていることを明らかにすることを順次行う計画であったが、（a）での遅れを取り戻し、(b)へ進める。
すなわち、(に)2パラメータパーシステントホモロジーの導来同値な対象について代数的安定性定理が導来圏へ拡張できることを明らかにすることを一部ではなく全体まで広げることを試みる。拡張についての具体策「直接的に導来圏の対象の特徴付けを行うことと，導来圏の分解の道具である recollement を用いること」について再度検討するだけでなく、他の手法についても改めて検討する。
なお、文献にあたるだけでなく、これまで困難を伴っていた他研究者との交流を増やしたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由はコロナ禍のため、海外出張含め出張や研究者の招聘が難しかったからである。今年度分の使用計画としては、研究を加速させるため研究集会を主催し、研究者の招聘に新たに充てる。また、今年度はワクチンが行き渡りつつある状況から国内出張が可能となると考え、それへも充てる計画である。
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