超対称ゲージ理論の双対性とコンパクト化

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03762
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 堀 健太朗 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (30535042)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 超対称ゲージ理論 / 双対性 / コンパクト化 / 線演算子 / ミラー対称性 / 超弦理論 / ブレーン配位

Outline of Annual Research Achievements

2，3，4次元における超対称ゲージ理論が双対性とコンパクト化によってどの様に関係しているのか、特に、異なる次元の理論の演算子(局所演算子や線や面などに台を持つ高次元演算子や境界条件など)がどの様に対応するのか、を明らかにすることが本研究の目的である。令和3年度は3次元N=4理論における線演算子の理解を目指して以下の二つの方向の研究を進めた。一つはミラー対称性のもとでの対応関係を決定するための準備として、超弦理論のブレーンの配位によって定まる理論においてウィルソン線演算子がどのように実現されるかについての理解を深めた。ゲージ群がユニタリー群の場合、基本表現の対称積、反対称積、及びそれらのテンソル積に対応するウィルソン線演算子の実現法については確定したものが知られている一方、より一般の表現については実現法の提唱があるものの、演繹やミラー対称性を用いた検証がなされていないことを確認した。もう一つは二つの線演算子に挟まれた点における局所演算子とその代数的構造についてである。これはある種の同変コホモロジー理論を用いて記述されるべきものであることが先行研究において指摘されており、これを正しく理解することに努めた。

また、本研究の副産物として、ゲージ化された一般の非線形シグマ模型で4個の超対称電荷を持つもの(3次元N=2理論及び2次元(2,2)理論)の力学変数、超対称変換、そして超対称な作用関数を、超場形式及び成分表示の両方で書き下すことにも成功した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

局所演算子とその代数的構造の記述のために同変コホモロジーをはじめとする数学が必要となるが、研究代表者はこれらのことについて不案内であり、基本的なことを理解するために想定以上の時間を要したことがあげられる。このために、予定していた『3次元N=4ミラー対称性から2次元(2,2)非可換ゲージ理論のミラー対称性の導出』や『3次元超対称ゲージ理論のウィルソン線演算子に対する次数制限則』に取り掛かることが出来なかった。

Strategy for Future Research Activity

これまでの準備的研究をもとに、いよいよ本研究の中心的問題「2，3，4次元の様々な双対性がコンパクト化のもとでどのような関係にあるのか？」、「各次元のBPS物理量が双対性とコンパクト化のもとでどのような対応関係にあるのか？」に取り掛かりたい。先ず、超弦理論のブレーン配位を用いた線演算子の間のミラー対称性の研究を推し進める。特に一般の表現のウィルソン線演算子をブレーン配位の上で実現する方法を理解し、それを元にミラー双対となるヴォーテックス線演算子を同定したい。また、令和2年度に取り掛かる予定であった『3次元N=4ミラー対称性から2次元(2,2)非可換ゲージ理論のミラー対称性の導出』、『3次元超対称ゲージ理論のサイバーグ双対性の元での線演算子の対応関係』を推し進める。そのために先ず、3次元超対称ゲージ理論のウィルソン線演算子に対する次数制限則を超対称分配関数の収束条件から導き出したい。

Causes of Carryover

計画では中心的課題について共同研究者と議論したり、関連する研究を行っているT. Dimofte等と意見交換する予定であったが、準備的研究に注力したためそれについては時期尚早と判断せざるを得なかった。今年度は中心的課題に取り掛かるのでこれを行う。できれば互いの研究機関を行き来して議論したいが、それが困難な状況でもインターネット等を利用して行うことを考えている。また、K理論的グロモフ・ウィッテン不変量を研究する数学者Yaoxiong Wenを招待し、3次元の超対称分配関数と幾何学的不変量の関係を議論する予定である。科研費は旅費及び通信を円滑に行うために使用する予定である。