2022 Fiscal Year Research-status Report
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20K03762
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
堀 健太朗 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (30535042)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 超対称ゲージ理論 / 線演算子 / 超対称局所化 / サイバーグ双対性 / 射影双対性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2，3，4次元における超対称ゲージ理論が双対性とコンパクト化によってどの様に関係しているのか、特に、異なる次元の理論の演算子(局所演算子や線や面などに台を持つ高次元演算子や境界条件など)がどの様に対応するのか、を明らかにすることが本研究の目的である。
令和4年度は3次元超対称ゲージ理論における線演算子の理解を目指して以下の研究を行った。演算子を分類する方法として「状態・演算子対応」がある。共形場の理論においては、局所演算子と球面上の状態の対応が知られているが線や面に台を持つ演算子に対してはそのような対応関係が存在しないことが指摘されている。一方、超対称場の理論におけるBPS演算子に対してはそのような対応が台の次元に関わりなく存在することを認識した。特に３次元理論においては線演算子のコホモロジー類とトーラス上の状態のコホモロジー類との間の対応関係が存在することがわかった。また、演算子を調べる方法の一つとしてそれらの相関関数を計算することが挙げられる。特に超対称性が部分的に保たれる状況においては「超対称局所化の方法」により厳密計算が可能になる場合がある。その方法において重要となる超対称な背景についての一般論の理解に努めた。以上は研究協力者の末武佑涼さんと共同で行った。３次元理論の線演算子を理解するために４次元理論の面演算子について知られていることからヒントを得ることも考えられる。４次元N=4超対称ゲージ理論の面演算子について数学的な立場から研究を行っているKIASのYaoxiong Wenさんを招待し、その分類や性質について学んだ。
また、サイバーグ双対性が数学において「射影双対性」と呼ばれるものと似たパターンを持っていることが以前から指摘されていた。これらの明確な関係を求めて、射影双対性の舞台である「射影幾何学」を理解することに着手した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
まず、一般の表現のウィルソン線演算子を超弦理論のブレーン配位の上で実現する方法を理解することを目指していたが、それに行き詰まってしまったことが挙げられる。また、「超対称局所化の方法」において重要な超対称な背景は超重力理論の枠組みで記述されるが、研究代表者は超重力理論について素人同然であり、これについて基本的な事項を理解することから始めなければならなかった。それに想定以上の時間を要したことも遅れの原因となっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず、超局所化の方法を用いて３次元超対称ゲージ理論におけるBPS線演算子の相関関数を実際に計算する。特に、その収束条件から3次元理論のウィルソン線演算子に対し次数制限則を課すべきかどうかを正確に理解したい。また、特別な極限をとることにより２次元理論における超対称不変量と比較し、それらの関係を理解したい。それにより２次元理論における次数制限則が３次元理論に与える意味を理解したい。また、射影幾何学の理解をさらに進め、射影双対性とサイバーグ双対性の関係をまずは２次元理論において理解したい。これらを中心に『3次元N=4ミラー対称性から2次元(2,2)非可換ゲージ理論のミラー対称性を導出』、『3次元超対称ゲージ理論のサイバーグ双対性の元での線演算子の対応関係』を推し進める。
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| Causes of Carryover |
計画では中心的課題について共同研究者と議論したり、関連する研究を行っているT. Dimofte等と意見交換する予定であったが、再び準備的研究に注力したため時期尚早と判断せざるを得なかった。今年度は中心的課題に取り掛かるのでこれを行う。また、Stony BrookにあるSimons Center for Geometry and Physicsにおける２回の研究集会(Gauged Linear Sigma Model @30とBirational Geometry and Quantum Invariants)に参加し、次数制限則の理解及びサイバーグ双対性と射影双対性の関係について参加者と議論する予定である。科研費は旅費及び通信を円滑に行うために使用する予定である。
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