2021 Fiscal Year Research-status Report
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20K03764
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
永尾 太郎 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (10263196)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | ランダム行列 / 普遍性 / ２次元流体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ランダム行列は物理学の様々な問題に応用されてきたが, その基礎となるのは固有値や固有ベクトルの分布の普遍性である. ランダム行列の固有値分布は, 分子間相互作用のある流体の統計力学的分布の例を与えることがある. 標準的な非エルミートランダム行列の固有値は, 複素平面上に分布するため, 対応する流体は２次元平面上にあり, 厳密に物理量を計算できる２次元流体の例を与える. 本研究では, ランダム行列の普遍性の理解を深めるとともに, ２次元流体の統計力学を進展させたい. 標準的な非エルミートランダム行列に対応する２次元流体においては, 固有値（すなわち流体分子の位置）の相関関数は, 行列式またはパフィアンの形に表され, 行列式（またはパフィアン）の行列要素は, 直交多項式（または歪直交多項式）によって表される. ただし, この場合の直交多項式は, 実軸上の１次元領域における積分に対してではなく, 複素平面上の２次元領域における２重積分に対して直交する. 古典直交多項式としてよく知られている Gegenbauer 多項式は実軸上で直交するが, より一般的に, 複素平面上の楕円面領域においても直交する. 前年度専門誌に掲載された論文では, Gegenbauer 多項式の楕円面領域における直交性の証明を発表した. この直交性を用いることにより, 楕円面上の２次元 Coulomb 気体を解析することができ, 様々な極限において, ランダム行列の固有値分布に関する普遍的な結果を再現することができる. 今年度は, より一般的な直交多項式について同様の結果を得ること, およびより一般的な極限において普遍的な結果を得ることを検討した. また, 複素平面上で直交する多項式の数学的な一般論が有用であると期待され, その方向から研究を進めることも考えている.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
標準的なエルミートランダム行列モデルに対応する１次元流体においては, 固有値（すなわち流体分子の位置）の相関関数が, 行列式またはパフィアンの形に表される. そして, 行列式（またはパフィアン）の行列要素は, 固有値密度に対応する直交多項式（または歪直交多項式）によって表される. ガウス型のエルミートランダム行列モデルにおいては, 直交多項式として Hermite 多項式を用いることができる. 歪直交多項式についても, Hermite 多項式による展開式を使った解析が可能である. さらに, ガウス型のエルミートランダム行列モデルを一般化して, 「古典直交多項式に関係するランダム行列アンサンブル」を構成できる. 一方, 標準的な非エルミートランダム行列に対応する２次元流体においては, 固有値（すなわち流体分子の位置）は複素平面上にあり, それらの相関関数を表すために, 複素平面上で直交する直交多項式を用いる. Hermite 多項式は複素平面上でも直交することが知られているので, ガウス型の非エルミートランダム行列の解析にも用いることができる. 前年度専門誌に掲載された論文においては, より一般的な古典直交多項式である Gegenbauer 多項式の複素平面上での直交性を証明した. この結果は, 非エルミートランダム行列モデルにおいても, エルミートランダム行列モデルの場合と同様に, 「古典直交多項式に関係するランダム行列アンサンブル」への一般化が可能であることを示唆する. また, 一般化されたモデルに対する漸近解析を進展させることにより, ランダム行列理論の既知の結果を再現するとともに, 今まで知られていない新しい結果を得ることが期待できる. さらに, 複素平面上で直交する多項式の数学的な一般論を進展させることも視野に入れている.
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究では, 古典直交多項式の複素平面上での直交性を示し, 対応する非エルミートランダム行列アンサンブル（あるいは２次元流体）を構成して解析することを計画している. これまで Gegenbauer 多項式に関係する楕円面上の２次元流体の解析に成功しているので, より一般的な古典直交多項式に関係するモデルの研究を進めたい. また, ２次元離散測度上で直交する多項式の構成と, 対応する２次元系の解析も行いたいと考えている. 研究代表者自身, Hermite 多項式を離散化した Hahn 多項式や Laguerre 多項式を離散化した Meixner 多項式などに対応する１次元離散モデルを調べた実績があるので, その経験を生かして, ２次元離散モデルについての理解を深めたい. そのためには, 複素平面上で直交する多項式, および離散測度上で直交する多項式について, 数学的な一般論の研究を進めることが効果的であると思われる. さらに, 近年発展してきた複雑ネットワークの理論において, 普遍的な構造として挙げられるスケールフリー性に着目する. ネットワークの結節点に直接に結合している結節点の数（次数）の分布がべき分布になることをスケールフリー性と呼ぶ. スケールフリー性をもつ隣接行列は, ランダム疎行列を一般化したスケールフリーランダム行列を構成することによって実現される. そして, 場の理論的な方法によるスケールフリーランダム行列の解析により, 数値計算の結果を再現することができる. 本研究においては, これらの既存研究をさらに進展させるとともに, その成果を踏まえて, 結節点を結ぶ辺が向きをもつ有向ネットワークの研究を行う予定である. この場合, 対応する隣接行列は実非対称行列になるため, 非エルミートランダム行列の普遍性についての知見が役に立つことが期待される.
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| Causes of Carryover |
今年度も, 感染症の問題のため, 予定していた出張が実施できず旅費の使用がなかった. 物品についても, 前年度に購入したものを利用できた. 次年度は, 数式処理や数値シミュレーションの実施を目的として計算機環境を整備するとともに, 状況が許すならば, 国内出張を実施したい. また, 出張によらずにオンラインで情報収集する目的での使用を検討する.
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Research Products
(1 results)
