2022 Fiscal Year Research-status Report
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20K03764
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
永尾 太郎 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (10263196)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | ランダム行列 / 普遍性 / ２次元流体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ランダム行列の固有値分布は, 分子間相互作用のある流体の統計力学的分布の例を与えることがある. 標準的な非エルミートランダム行列の固有値は, 複素平面上に分布するため, 対応する流体は２次元平面上にあり, 厳密に物理量を計算できる２次元流体（２次元 Coulomb 気体）の例を与える. 本研究では, ランダム行列の普遍性の理解を深めるとともに, このような２次元流体の統計力学を進展させたい. 最近のランダム行列理論の発展により, 複素平面上で直交する多項式に関係するさらに広いクラスの２次元流体を考えることが可能であるという認識が深まってきた. 標準的な非エルミートランダム行列に対応する２次元流体においては, 固有値（すなわち流体分子の位置）の相関関数は, 直交多項式（または歪直交多項式）によって表される. ただし, この場合の直交多項式は, 実軸上の１次元領域における積分に対してではなく, 複素平面上の２次元領域における２重積分に対して直交する. 古典直交多項式としてよく知られている Gegenbauer 多項式は実軸上で直交するが, より一般的に, 複素平面上の楕円面領域においても直交する. この直交性を用いることにより, 楕円面上の２次元 Coulomb 気体を解析することができる. また, Gegenbauer 多項式の対称性により, 気体は楕円の２つの焦点近傍のいずれにおいても同じように振る舞うことがわかる. より一般的な Jacobi 多項式の直交性を楕円面領域において示すことができれば, 楕円の２つの焦点近傍においてそれぞれ異なる振る舞いを示す気体が得られるはずである. しかし, それが可能な場合は, 今のところ限定されている. 現時点での研究の主な目標の一つとして, この限定を除去することが挙げられる.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では, ガウス型の非エルミートランダム行列モデルを一般化した「古典直交多項式に関係するランダム行列アンサンブル」を構成して解析することを目標としている. 古典直交多項式とは, Jacobi 多項式あるいはその（漸近極限を含む）特別な場合として与えられる直交多項式のことである. それら古典直交多項式の複素平面上での直交性を示し, 対応するランダム行列アンサンブル（あるいは２次元流体）を構成して解析したい. ガウス型のエルミートランダム行列モデルに対応する１次元流体は, 実軸上で直交する Hermite 多項式に関係している. そして, Hermite 多項式を古典直交多項式に一般化することにより, ガウス型のエルミートランダム行列モデルから「古典直交多項式に関係するランダム行列アンサンブル」への一般化が実現されている. 一方, 非エルミートランダム行列モデルに対応する２次元流体においては, 流体分子は複素平面上にあり, 複素平面上で直交する多項式による記述が可能であることが期待される. 実際, Hermite 多項式は複素平面上でも直交することが知られており, ガウス型の非エルミートランダム行列モデルの解析に用いられている. また, Hermite 多項式より一般的な古典直交多項式である Gegenbauer 多項式についても, 複素平面上での直交性が証明でき, 対応する２次元流体を構成して解析できる. これらのことから, 非エルミートランダム行列モデルにおいても,「古典直交多項式に関係するランダム行列アンサンブル」を構成することが可能なのではないかと予想される. 実際, Jacobi 多項式の複素平面上での直交性を示すことは, （Gegenbauer 多項式の場合を含む）限定された特別な場合には可能である. それ以外の場合は, 今後解決すべき課題となっている.
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究では, 古典直交多項式の複素平面上での直交性を示し, 対応する非エルミートランダム行列アンサンブル（あるいは２次元流体）を構成して解析することを計画している. これまで Gegenbauer 多項式に関係する楕円面上の２次元流体の解析に成功しているので, より一般的な直交多項式, 特に Jacobi 多項式に関係するモデルの研究を進めたい. また, ２次元離散測度上で直交する多項式の構成と, 対応する２次元系の解析も行いたいと考えている. 研究代表者自身, 古典直交多項式の離散化に基づいて１次元離散モデルを調べた実績があるので, その経験を生かして, ２次元離散モデルについての理解を深めたい. さらに, 近年発展してきた複雑ネットワークの理論において, 現実的なネットワークのもつ普遍的な構造が明らかにされていることに着目し, スケールフリー性などの目立つ特徴を取り入れたモデルについて考察したい. ネットワークの結節点に直接に結合している結節点の数（次数）の分布がべき分布になることをスケールフリー性と呼ぶ. スケールフリー性をもつ隣接行列は, ランダム疎行列を一般化したスケールフリーランダム行列を構成することによって実現される. 本研究では, これらの既存研究の成果を踏まえて, 結節点を結ぶ辺が向きをもつ有向ネットワークの研究を行う予定である. この場合, 対応する隣接行列は実非対称行列になるため, 非エルミートランダム行列の普遍性についての知見が役に立つと期待される. また, ランダム行列の動的一般化である行列のブラウン運動モデルについても, 非エルミート行列の場合の議論がすでになされているので, どうすれば直交多項式の理論を役立てることができるか検討していきたい.
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| Causes of Carryover |
今年度は, 感染症の問題の影響により実現できていなかった国内出張を, ようやく実現することができた. しかし, まだ十分な活動ができておらず, また, 依然として外国出張を実現できていないため, 当初の予定よりも旅費の使用が少なくなった. 次年度は, 積極的な旅費の使用により, より活発な情報収集や研究発表を行いたい. また, 数式処理や数値シミュレーションの実施を目的として, 計算機環境を整備するための使用も考えている.
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