2020 Fiscal Year Research-status Report
幾何的漸化式に基づく量子トポロジーと弦の場の量子構造の数理の究明
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20K03931
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| Research Institution | Osaka Institute of Technology |
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Principal Investigator |
藤 博之 大阪工業大学, 情報科学部, 教授 (50391719)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
樋上 和弘 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (60262151)
村上 斉 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 位相的漸化式 / 行列模型 / 量子トポロジー / 結び目理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究では，主に結び目の量子不変量に関する研究とリーマン面のモジュライ空間の量子構造の研究に取り組んだ．
結び目の量子不変量に関する研究では，Seifertループと呼ばれる，３次元多様体のSeifert多様体の中に配置されたあるクラスの結び目に関する解析を行なった．近年のGukov-Putrov-Vafaらによる研究などをはじめとした研究において，３次元多様体とその中の結び目に対する復元解析とq級数展開の研究に関して進展が報告された．これまで，Chern-Simonsゲージ理論基づく経路積分と手術理論に基づく結び目の量子不変量の解析では，不変量は量子展開パラメータqが１の冪根の場合のみ計算可能であった．一方で，結び目理論で知られる量子不変量は，量子展開パラメータqのローラン多項式やq級数展開系で与えられており，両者の間には解析的なギャップが存在している．
このギャップを埋めるために，近年の研究では復元解析を利用して量子不変量をq級数展開へと解析接続する方法が確立し，３次元多様体や結び目に対する量子不変量のq級数展開形が得られるようになった．この研究手法を応用して，本年度の研究ではこれまでq級数展開形が知られていなかったSeifert loopのsl(2)色つき量子不変量（WRT関数）に対するq級数展開形を得ることに成功した．さらにこの結果を使って，WRT関数が満たすq-差分方程式（量子曲線）を求め，差分方程式の古典極限が，基本群のSL(2,C)表現から得られるA-多項式と一致することを確かめた．この古典極限の関係はAJ予想として知られる予想の一部であり，今回の解析でこの予想がSeifert多様体内の結び目に対しても成立することが確かめられた．
リーマン面のモジュライ空間の量子構造の研究については，JT重力の変形に関する研究に取り組み，現在解析を進めている状況である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度は所属が移った直後にコロナ対応などが重なったために，昼夜問わず教務と学務に忙殺されており，研究時間の確保が極めて難しい状況となってしまった．２０２１年度以降は今後は研究時間を確保し，２０２０年度に進められなかった研究を推進する予定である．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策として，以下のアプローチを考えている．
（１）Mirzakhaniの漸化式の拡張を基に，位相的漸化式と幾何的漸化式の非自明な例を探る．特に，JT重力との対応から見出された様々な拡張が，幾何的漸化式の枠組みでどのような形で表現されるかについて考察する．
（２）Temporalゲージによる２次元量子重力理論のアプローチと幾何的漸化式の関係について考察する．幾何的漸化式の２次元重力理論や非臨界弦理論の解析では，共変ゲージに相当するものであり，物理的には両者は等価な解析をしているものと考えられる．この点を明らかにするため，最も標準的なモデルとして，JT重力のTemporalゲージによる非摂動的量子化に取り組み，Mirzakhaniの漸化式がどのような形で実現するかについて考察する．
（３）量子不変量の背後にある位相的漸化式の構造を探るため，より一般的なクラスの3次元多様体内の結び目などに対する復元解析やq級数展開形の解析を行う．特に，AJ予想などを通じて量子曲線を見出すことができると，その差分方程式を実現するような位相的漸化式を逆構成できることが期待されるため，様々な例でこのような解析を進める予定である．
（４）より一般の行列模型や位相的弦理論に対して復元解析とq級数展開を適用することで，物理量の解析接続とそのモジュラー構造などを新たに発見することを目的とした解析を行う．
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| Causes of Carryover |
本年度はコロナの影響で研究会がオンライン開催となった上に，海外渡航も難しい状況であったため，旅費を使うことができなかった．また，研究に必要なPCなどの設備品や消耗品は，本年度は買い替えの必要がなかったため，購入しなかった．本年度執行できなかった分の研究費は次年度以降にコロナが収束し，研究活動がまともに行えるようになる見込みがたち次第，当初の研究計画どおりに段階的に執行する予定である．
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