2022 Fiscal Year Research-status Report
幾何的漸化式に基づく量子トポロジーと弦の場の量子構造の数理の究明
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20K03931
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| Research Institution | Osaka Institute of Technology |
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Principal Investigator |
藤 博之 大阪工業大学, 情報科学部, 教授 (50391719)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
樋上 和弘 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (60262151)
村上 斉 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
真鍋 征秀 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (20965222)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 位相的漸化式 / 幾何的漸化式 / Jackiw-Teitelboim重力 / Masur-Veech体積 / 量子エアリ構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
幾何学的漸化式（geometric recursion）はJ.E.Andersen, G.Borot, N.Orantinの３氏によって提唱されたTeichmuller空間上の可測関数の間の漸化式である．この漸化式を基に，弦の場の理論を考察することが本研究の目的である．幾何学的漸化式は行列模型の相関関数の漸化式として構築された位相的漸化式のLaplace変換として実現するケースもあり，幾何学やトポロジー，理論物理学現れる様々なシステムの相関関数がこれらの漸化式に従うことが報告されている．本研究の目的はこれらの漸化式を時空を標的空間とする非臨界弦の場の理論に適用し，幾何学やトポロジーで発展した手法や不変量の解析を弦理論を通じて新たな方向の進展を見出すことにある．
本年度の研究では，主に次の３点に関する研究を行った．1) Masur-Veech体積の解析を通じて提唱された幾何的漸化式のツイスト操作のJackiw-Teitelboim重力理論に基づく物理的意味づけ，2) ミニマル弦理論およびその超対称拡張に対する位相的漸化式を基にした，Masur-Veech体積の拡張とその幾何的漸化式の発見，3) Jackiw-Teitelboim重力理論およびミニマル弦理論，これらの超対称拡張の弦理論に対して幾何的漸化式のデータから得られる量子エアリ構造の解析．これら３点の研究結果を真鍋氏との共著論文にまとめ,発表した．
さらに，幾何学的漸化式を用いた非臨界弦理論の場の理論の解析と弦の場の理論との関係を探るため，石橋-川合の弦の場の理論の定式化との関係を検討し，さらに因果的力学的単体分割（CDT）重力理論への拡張を検討した．これらの研究を通じて，幾何学的漸化式が弦の場の理論の非摂動的定式化として用いるための方向性を探っている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究課題開始直後に世界的にコロナ禍が発生し，その影響で教務などの負担が大きくなり，研究を進めることが非常に困難な状況が続いたが，３年目を迎えてようやく研究を本格的に進めることができた．その間に素粒子理論の研究ではJackiw-Teitelboim重力の進展が一段落しており，様々な発展が報告されていた．これらの研究の進展結果を踏まえて，幾何学的漸化式の研究の応用に関する研究を進め，一定の結果が得られたと考えている．この研究結果は真鍋氏との共著論文「Some generalizations of Mirzakhani's recursion and Masur-Veech volumes via topological recursions」にまとめ，プレプリントとして投稿した．本来はこの内容は研究初年度に行うことを予定おり，成果発表が２年遅れとなってしまったものの，その間の様々な進展を取り入れることができたため，結果として考察をより深めることができたと考えている．
本研究の本来の目的は幾何学的漸化式と弦の場の理論との関係を探ることにあり，本年度の研究はこの探索を行う上で必要不可欠な具体例の解析を行ったと言える．次年度はこの解析を踏まえて研究の中核的内容に着手するための準備が整った状況になった．
さらに本年度の研究では，因果的力学的単体分割（CDT）重力理論の幾何的漸化式による定式化についてはChakhov-Eynard-Orantin流の位相的漸化式が適用できない例となっていたが，近年の量子エアり構造に基づく位相的漸化式の拡張を通じてアプローチ可能になったことを見出すことができた．次年度の研究ではこの点についても解析を進め，非臨界弦の場の理論との関係をCDT重力においても見出したいと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では，石橋-川合による非臨界弦の場の理論のSchwinger-Dyson方程式と幾何的漸化式との関係を明確化し，スペクトル曲線のデータから直接的に非臨界弦の場の理論の量子ハミルトニアンを構築する手法を確立することを目標として研究を進める．また，因果的力学的単体分割（CDT）重力理論への応用については，本年度の研究を基に見出された新たな方向であり今後の研究では解析を進める予定である．特に，CDTへの応用は１０年前に取り組んだ際には解決できなかった位相的漸化式との関係をようやく見出すことができる段階に至ったと考えられることが判明したので，まずはこの部分に取り組みたいと考えている．
CDTと行列模型との関係が調べられていた１５年前は，位相的漸化式の適用範囲は主に１つのエルミート行列の積分として表される行列模型から派生したタイプのモデルにしか適用できなかった．これが近年の量子エアリ構造の研究を通じた位相的漸化式の再定式化による拡張により，適用可能なスペクトル曲線のクラスが拡大し，特に分岐点を持たないスペクトル曲線に対しても適用可能な位相的漸化式が見出された．CDTに対する弦の場の理論から見出されるスペクトル曲線はこの分岐点を持たないクラスに属しており，適用可能である．また，CDTの弦の場の理論の量子ハミルトニアンには，ミニマル弦理論にはないプロパゲータが存在し，これは幾何的漸化式のツイストによって表される可能性も考えられる．
本年度の研究では超対称非臨界理論に対する幾何的漸化式を解析しており，その弦の場の理論がどのようなものになるかという課題についても検討したい．この超対称拡張はNeveu-Schwarz境界条件を持つ超リーマン面を標的空間時空とする理論であると考えられているが，その物理的解釈は明確ではない．弦の場の理論の解析を通じてこの点を明確にする研究も進める．
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| Causes of Carryover |
2022年度はコロナの影響で国外研究機関での短期滞在や国際研究会への参加などが難しい状況であったため，未使用額が生じた．2023年度は，使用しているPCの経年劣化があるため，MacBook Pro 16インチの購入とそれに伴うMathematica,Mapleなどの数式処理系のソフトウエアの購入を計画している．
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