ランダム行列・自由確率・テンソルネットワークを用いた深層学習の研究

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K11667
• Research Institution: Yamagata University
• Principal Investigator: 福田 素久 山形大学, 理学部, 教授 (70771161)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: ランダム行列 / 自由確率 / テンソルネットワーク / Weingarten 関数

Outline of Annual Research Achievements

引き続きランダム行列・テンソルの計算プログラムの改良を行った。Weingarten 関数を生成するプログラムを見直す過程で未解明の数学の問題を発見し、共同研究へと発展した。数学的には対称群の表現論（シューア・ワイル双対性、ゲルファント・ペアなど）と関わっている。応用の観点からは、Weingarten 関数はHaar 測度で分布したランダムなユニタリ行列・直交行列の要素からなる多項式の平均を計算する際に必要な関数であり、本研究課題では同行列がテンソルネットワークの中に埋め込まれている状況を想定している。他のライブラリ依存を下げて安定性を高める一方で、他のテンソル計算プログラムへの連携機能を補強して、広く物理研究に使用できるように改良してきた。ガウス分布するランダムテンソルも扱えるこのプログラムの公開は、ランダム行列・テンソルの平均計算と組み合わせ論による表記の関係をまとめた関連論文と共に2023年度前半中に行う。
また、機械学習分野の一つである低ランクの行列・テンソル補完の理論研究に、研究代表者の過去の研究に関連している測度集中の不等式が重要な役割を占めていることを確認し、研究対象を広げる具体的な道筋を見出した。低ランクの行列・テンソル補完は推薦システムなど応用のすそ野が広い研究である。
関連研究の自由確率のメアンダー多項式への応用についての研究を出版に向けて編集を行った。メアンダー問題は高分子の折り曲げ問題や理論物理（Temperley-Lieb代数など）と関連する。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

新型コロナウイルス感染症（COVID-19）による共同研究の遅延、及び業務の多忙により計画通りに進んでいない。

Strategy for Future Research Activity

申請時に計画した海外との共同研究を実行に移し、ランダム行列・自由確率の視点からニューラルネットワークの学習過程の研究を行う。一方で研究代表者の過去の研究とのつながりを深め、量子情報とテンソルネットワーク、行列・テンソル補完問題と測度集中が交差する領域での研究を進める。

Causes of Carryover

図書・論文、及び物品等の購入、加えて、海外出張、及び海外からの研究者招聘等で使用予定。