2023 Fiscal Year Research-status Report
ドローネ三角網による平面的グラフの膨張因子とツーセンター問題の基礎研究
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20K11683
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
譚 学厚 東海大学, 情報理工学部, 教授 (50256179)
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2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | アルゴリズム / 計算幾何 / 平面グラフの膨張因子 / 平面的ツーセンター問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1.平面上に与えられた点集合を半径最小の円盤を2つ用いてカバーする問題は平面的ツーセンター問題と呼ばれる。本研究ではまず、凸位置にある点集合および凸多角形のツーセンター問題を解くO(n log n)時間とO(n)領域計算量のアルゴリズムを提案した。さらに、その手法・結果を一般位置にある点集合のツーセンター問題に拡張し、平面的ツーセンター問題を解くO(n log n)時間とO(n)領域計算量のアルゴリズムを開発した。従来のO(n (log n)^2)時間の最良アルゴリズムを改善している。この研究成果をまとめた論文”An optimal and practical algorithm for the planar 2-center problem”は2024年5月香港理工大学で開催される国際会議TAMC 2024に採用された(DOI:https://doi.org/10.1007/978-981-97-2340-9_6)。
2.平面的グラフにおける2点間の最短路の長さとユークリッド距離の最大比率はグラフの膨張因子と言う。点集合が凸の場合、任意に与えられた2点a,b間の最短路はaとbを結ぶ凸チェーンを使って近似表現できる。本研究では、選ばれた凸チェーンは2つの半円の交わりの内側にあることを示したうえ、新しい膨張因子1.77を得た。この研究成果をまとめた論文は国際会議COCOON 2024に投稿している。
3.平面上にn個の点対が与えられたとき、おのおの点対に対して少なくとも1つの点を含むような最小円盤の計算問題は点対のワンセンター問題と呼ばれている。本研究では、貪欲的なアルゴリズムに基づいてO(n^(1+r))(r>0)時間の新しいアルゴリズムを開発し、従来の研究結果を大幅に改善する。この研究成果をまとめた論文は国際会議COCOON 2024に投稿している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平面的ツーセンター問題については、O(n log n)時間とO(n)領域計算量のアルゴリズムは国際会議TAMC 2024で発表する予定である。計画書の通りに研究が進み、計算幾何学における長年未解決問題に終止符を打つことができたため、研究成果の意義が非常に大きい。
平面的グラフの膨張因子に関する研究は、与えられた点集合が凸の場合、従来の最良因子1.84から1.77に下げることができた。この研究結果・手法を一般点集合に拡張し、従来の膨張因子1.998も改善したい。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず、3次元のツーセンター問題を解くO(n^2 log n)時間のアルゴリズムを提案したい。これは従来に知られているO(n^(3+r)) (r>0)時間のアルゴリズムを大きく改善する。次に、測地学的距離(geodesic metric)で定義される多角形領域内のツーセンター問題を解くO(n log^2 n)時間のアルゴリズムを開発し、従来のO(n^2 log^2 n)時間のアルゴリズムを改善したい。
平面グラフの膨張因子については、一般位置にある点集合に対して最良因子1.998をいかにして改善できるかが今後の研究課題である。ドローネ三角網において任意に与えられた2点aとbを結ぶ最短路は直径2/√3の半円に収まることができるため、膨張因子を1.82 (π/√3以下)に下げることを研究の目標にしていきたい。
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| Causes of Carryover |
コロナウイルス蔓延のため、海外および国内の研究旅費は使えなくなり、次年度使用額が生じた主な理由である。
2024年度の助成金使用計画は次の通りである。
海外・国内旅費：30万円、会議参加登録費：96,090円。
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