2021 Fiscal Year Research-status Report
New Development in the Design of Performance Guarantee Algorithms Powered by Mathematical Optimization
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20K11689
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
藤原 洋志 信州大学, 学術研究院工学系, 准教授 (80434893)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | アルゴリズム / 数理計画法 / 最適化 / 情報基礎 / 応用数学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) ビンパッキング問題は、順次到着するアイテムを、そのつどビンに詰めていき、なるべく少ない数のビンに収めることを目的とするオンライン最適化問題である。計算機アーキテクチャからロジスティックスに至るまで幅広い応用があり、40年来計算機科学者の好奇心を刺激し続けてきた有名な問題である。本研究では、アイテムサイズを2種類に限定した問題に取り組む。2種類に限定しても、アイテムが逐一到着するモデルにおいては、理想的なパッキングを必ずしも得られないことが知られており、理想的なパッキングにどれだけ近づけるか（競合比下界という）が研究者の注目の的となっている。本研究では以前の我々自身の研究結果をベースラインとし、解析方法を根本から見直すことにより、さらに強い競合比下界を導出することに成功した。
(2) 木は基本的な離散構造であり、目的に応じた木の生成は実用面においても重要性が増している。とりわけハフマン木問題は、最小平均符号長をもつハフマン符号を与える古典的な問題である。これを一般化した、「葉の深さの関数」の総和を目的関数とする一般化ハフマン木問題が注目を集めている。中でも、「葉の深さの関数」がすべて非減少関数であるケースに対して、多項式時間アルゴリズムが存在するかどうかが未解決のまま残されている。本研究では、「葉の深さの関数」が2つのクラスのいずれかに入る場合に多項式時間アルゴリズムを構築することで、この未解決問題の部分的解決を達成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
(1) ビンパッキング問題に関するEpsteinとLevinの2008年の論文では、1つのビンに、大きい方のアイテムが2個以上入る場合について、競合比下界を明らかにしている。しかしこの競合比下界は、大きい方のアイテムサイズのみをパラメータとするものだった。我々は2つのアイテムサイズの両方をパラメータとして表す競合比下界を与え、国際会議AAAC2017において発表した。本研究ではこれをもとに、パッキングの場合分けを精緻化することにより、さらに強い競合比下界を与えることに成功した。その証明を整理し電子情報通信学会英文論文誌Aに論文投稿し、採録された。
(2) 一般化ハフマン木問題の問題例は、全2分木の「葉の深さの関数」の列である。一般の関数列に対しては、一般化ハフマン木問題がNP困難であることがすでに知られている。関数列のクラスをどこまで限定すれば多項式時間で解けるかが注目されている。我々は上界付き線形関数に着目し、すでに基本的な研究結果を国際会議JCDCGGG2019にて発表している。本研究ではこの結果をさらに発展させ、一般化ハフマン木問題が多項式時間で解けるような2つのクラスを明らかにした。そして結果をまとめて電子情報通信学会英文論文誌Dに論文投稿し、採録された。
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) ビンパッキング問題について、アイテムサイズを2種類かつある性質を満たすものに限定して考察する。そのかわりに、競合比上下界が一致するアルゴリズムの設計を目指す。ここである性質とは、ビンパッキング問題の実用性を損ねないように定める。そこでアルゴリズムの設計ツールとなるのが、昨年度電子情報通信学会英文論文誌Dで発表した、競合比を簡便に計算するための定理である。我々はこの取り組みについて2020年そして2021年の冬のLAシンポジウムにおいて報告している。理論面・実用面の両面から注目される取り組みであり、今後も研究を続けていく。
(2) これまで本研究で取り上げた上界付き線形関数は、非減少関数の特別な場合である。「葉の深さの関数」がすべて非減少関数である場合に、一般化ハフマン木問題が多項式時間で解けるかどうかは、自然な疑問であるが、未解決である。我々のアプローチは、「現在までの進捗状況」で紹介した2つのクラスを拡張することである。これまでに得た結果の一部はすでに2022年の冬のLAシンポジウムにて報告している。またその研究過程において我々は、動的計画法にもとづくアルゴリズムを得た。一般化ハフマン木問題に対する素直な動的計画法は指数時間アルゴリズムとなる。しかし我々の得たアルゴリズムは、ある条件のもとで多項式時間動作である。その条件を緩和することによる多項式時間アルゴリズム設計も行っていく。
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| Causes of Carryover |
(1) 当初計画では、一般化ハフマン木問題に関する研究発表のための出張を令和3年度に実施予定であった。しかしコロナ禍により多くの国際会議の現地開催が中止となったため、次年度使用額が生じた。
(2) 当初計画では、ビンパッキング問題に関する学術論文の投稿を令和3年度に実施予定であった。しかし研究の進捗状況により、令和4年度に実施することとしたため、次年度使用額が生じた。
（使用計画）
次年度使用額は、令和4年度請求額とあわせて旅費および論文掲載料として使用する。
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Research Products
(12 results)
