2021 Fiscal Year Research-status Report
波動方程式に対するspace-time境界要素法の研究
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20K11849
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
新納 和樹 京都大学, 情報学研究科, 助教 (10728182)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | space-time法 / 境界要素法 / 波動方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に研究を行った一次元波動方程式に対するspace-time境界要素法の定式化に基づき、本年度は二次元波動方程式に対するspace-time境界要素法ついて研究を行った．space-time境界要素法は時間域における偏微分方程式に対する数値解法である時間域境界要素法の定式化の一つであり、時間軸を空間に対する追加の軸と見なして積分方程式の離散化を行うことで、通常の時間域境界要素法と比較し、並列化効率が向上したり、より柔軟なメッシュ分割が可能になったりという利点のある数値解法である。これらの特徴から特に領域変形を伴う大規模問題に有効であることが期待され、現在盛んに研究される数値解法の一つである。本年度の研究では二次元波動方程式に対するspace-time境界要素法の数値解法の定式化および実装を行った。space-time境界要素法の定式化に関しては、特に基底関数が時間方向と空間方向の基底関数のテンソル積で書ける場合について定式化を行った。この定式化ではメッシュの形状に制限が課されるためメッシュの柔軟性という特徴がやや失われるが、一方でこの制限により影響係数内に現れる積分を計算する際の積分領域の形状をある程度限定できるため、実装をよりシンプルな形で行うことができる。上記に基づく数値解法を２次元波動方程式の内部問題に対して実装した。いくつかの問題に実装した数値解法を適用することで、数値的にその妥当性を検証した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究期間の二年目である本年度は、二次元波動方程式に対するspace-time境界要素法の定式化及び実装を行った。当初の予定ではこれは研究計画全体における初年度に行う研究であったが、初年度には当初予定していなかった固有値解析を用いた数値解法による安定性解析に関する研究を行ったため、初年度に計画していた研究内容が二年目に移行した形となった。一年目に扱った一次元波動方程式に対するspace-time境界要素法を二次元波動方程式に対するspace-time境界要素法に拡張するために、二次元問題に対するメッシュや二次元波動方程式の基本解を用いた積分方程式の定式化、二次元メッシュ上での影響行列の計算の実装などを行った。また開発した数値解法をいくつかの問題に適用することでその妥当性を検証した。特に当初想定していない困難などは生じず、当初一年分の研究内容として予定した通りの内容を進められた。以上より本研究の進捗を「おおむね順調に進展している」とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究予定として、まず基底関数がテンソル積でない一般の場合の定式化を行うことが挙げられる。この数値解法を実装するためには、任意の三角形上での積分作用素の計算を行う必要があるため、やや実装が複雑になるが、メッシュの柔軟性が向上しより様々な問題を扱える数値解法の開発につながると考えられる。またspace-time法が得意とする領域変形を伴う問題への数値解法の拡張も考えられる。二次元波動方程式に対する領域変形を伴うspace-time境界要素法の定式化自体は初年度に扱った一次元波動方程式に対するspace-time境界要素法の場合とほぼ同じであるが、空間の次元が二次元になることで、影響領域の形状の場合分けがやや複雑になることや、基本解の性質が異なることから、実装の難易度は少し増加することが想定される。
また初年度に一次元波動方程式を対象とした安定性の数値解析を行ったが、これを二次元波動方程式へ適用することや三次元波動方程式に対するspace-time境界要素法の開発も今後の推進方策の一つとして挙げられる。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大の影響により国際・国内会議がすべて中止またはオンライン開催となり、旅費の支出が当初の申請額より大幅に減額となったため次年度使用額が発生した。次年度は参加予定の国内会議のほとんどが現地で開催される予定であり、また国際会議も開催される可能性が十分にあるので、それらの旅費へ充てることで次年度に繰り越した予算を使用する計画である。
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