Research of multidimensional integral calculus with Research of multidimensional integral calculus with singularity

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K11858
• Research Institution: High Energy Accelerator Research Organization
• Principal Investigator: 石川 正 大学共同利用機関法人高エネルギー加速器研究機構, 計算科学センター, 准教授 (90184481)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 数値積分方法 / 多次元積分 / 内部特異性 / ファインマンパラメータ積分

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題は被積分関数が積分領域内で発散するような内部特異性がある多次元積分の計算アルゴリズムについて研究を行うことである。多次元積分の高精度計算を可能とする手法として、これまで端点(端面)に特異性がある場合には、二重指数関数変換を用いることによって、積分の値を精度よくかつ収束性が速く求められることがわかっている。これまで我々が問題として扱ってきた素粒子物理学で出現するファインマンループ積分の数値積分計算を行なっている。ファインマンパラメータ積分の被積分関数は、1/(V-iρ) のような形をしている。V はN次元積分変数の多項式で記述される。積分区間は全て[0,1] に帰着することができる。分母にregulator ρをおいて発散を回避して解析接続する方法があるが、我々はregulatorそのものに数値的に値を与え、数値積分でI(ρ) を求め、ρ→0 の極限を求める完全数値法を採用する。上の式でV(x_1,x_2,,,x_n )=0 となるのがこの積分空間内の特異性平面である。１次元の場合は、V(x)=0 となる点で、区間分割してそれぞれで二重指数関数変換をして求積することが容易にできる。これを多次元空間に拡張するには、特異性平面の解が必要であるが、そこから区間分割することは難しい。このため、特異性平面を見つけつつ、数値積分を同時に行う方法を考える。まずは各次元 1/2ずつ分割して特異性平面を含むかどうか判定し、含まれていなければその小hypercube空間での積分値とする。もし特異性平面を含めば、さらに辺を1/2にした積分空間内を計算することにする。この均等分割法のアルゴリズムでは、分割する度に指数関数的に演算量が増えるので、プログラムの並列化は必須であり、効率良い最適な方法について研究を行なっている。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

均等分割法の実装を開始したが、並列化の高いプログラムの検討を開始した。高い並列化を実現するには、次元を融合して長いループが必要であり、任意の次元を１次元に融合できるジェネレータを作成した。また大外側の並列はMPIであるが、これらも多次元で配分できるようにした。さらにジョブ並列化として、最外側の次元積分は、その次元（複数）の値を与え、他の次元について数値積分を行い、ファイルに出力して、最後に出力結果を積分するようにした。最内側に関しては、grapeのアーキテクチャでも動作できるように二重ループ化している。それぞれのループは多次元を融合したものである。またメモリの制約がある場合もあり、これらの最内側の二重ループを分割できるようにしている。これらのプログラムにより、MPI並列したメニーコアシステムを始め、アクセラレータシステム、ベクトル計算機を始め我々が開発した多倍長専用のgrape9mpxシステムなどに適用できる。このようなプログラムは、この研究にとって基盤となる道具であり、開発と評価に時間が割かれた。
すでに解析的な答えがわかっている、例として１ループの散乱問題を扱った。この場合、３変数の最大三次式の多項式となる。均等分割法の前にV(x)=0となる点を求め、区間分割して数値積分を行い、答えが求められることが確認された。regulator ρ が有限であるため、特異性平面でも被積分関数は有限である。この平面に沿って被積分関数の山あるいは谷がある（以下山と称する）。特異性平面がある軸の平面と並行になる場合、この山と直角となる次元での積分は、二重指数関数変換が端点に積分変数を多く振るので、端点近くの振る舞いを捉えることができる。しかしながら、山と並行な軸方向については、分点数を増やす必要があった。より効率的な方法について検討が必要である。

Strategy for Future Research Activity

基盤となる並列コードは作成できたので、サンプル関数を与えて均等分割法のアルゴリズムの評価を行う。まずは１ループファインマンループ積分の被積分関数の３次元問題に適用する。内部特異性の領域の可視化が容易でかつ解析計算との比較が可能である。その後、２ループファインマンループ積分の６次元積分問題まで１次元づつ積分次元をあげて評価を行う。評価するのは、基本的な数値積分のパラメータである。二重指数関数変換の場合、[0,1] の区間を [-∞,+∞] に変換するが、数値積分では後者の領域は、[-T,+T] のように有限空間である。-T の時に、元の積分変数としては0に近い数である。また二重指数関数変換後は、台形公式を用いるので、h=2T/N_d がメッシュ幅であり、この２つのパラメータで制御する。また、regulator ρ の取り方も大きな要素である。特異性平面に沿った山の険しさになる。一般的にはregulator ρ が小さくなる程、積分の精度の収束性が悪くなるが、Wynnなどの加速法での収束が早いと考えられる。これらのパラメータと計算時間および最終的な積分結果の精度の関係を調査することになる。なお被積分関数内でも物理的なパラメータを入れることができるので、これらもスキャンする。昨年度導入できなかったのメニコアのAMD Ryzen Threadripperを本年度当初に導入して、プログラム開発とアルゴリズムの評価を行っていく。
多次元化すれば、するほど計算量は指数関数的に増加するので、他のアクセラレータシステムなどの併用は行うことにする。

Causes of Carryover

導入する予定のコンピュータは、マルチコアのシステムとして、7nmの最先端のテクノロジーのAMD社のRyzen Threadripper Proを検討した。我々は、経費を削減できるのでPCの部品(CPU,メモリ、マザーボード等）を購入して組み立てを行うことにしている。このAMD社のCPUは、最大64コアで128スレッド並列が可能である。Intel社のCPUでは、10nmでこれよりコア数は少ない。またコストパーフォマンスの観点からもAMD社の方がかなり有利である。昨年度AMD社のこのCPUが更新され出荷される予定であったが、2021年３月に出荷されることになった。PU以外のPCの部品(メモリ、マザーボード等）も変化が激しく、また入荷が難しくなるものもあり、入荷可能な最適な部品を選んでシステムを組み上げいる。このため当該年度の購入を見送り次年度に持ち越し、最先端でなおかつコストパーフォマンスで有利なシステムを構築して研究を進める。