2023 Fiscal Year Research-status Report
圧縮センシングによる超解像の統計力学的解析と拡散方程式逆問題への応用
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20K11990
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
相田 敏明 岡山大学, ヘルスシステム統合科学学域, 講師 (60290722)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 圧縮センシング / 疎表現 / 統計力学 / レプリカ法 / 画像 / 辞書行列 / 相関 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
圧縮センシングとは，推測対象に関する多数の特徴を事前に用意することにより，少数の観測データからでも推測を可能にするもので，原理的に最も高性能な統計的推測手法である．また，本研究の主たるテーマは超解像であるが，その基礎として，相関を有するデータに対する圧縮センシングの平均的性能の解明が必要である．しかし，圧縮センシングを実問題へ応用する際に本質的役割を果たす，辞書行列については不明な点が多い．例えば，情報内の相関の強さと辞書行列のアスペクト比（縦横比）の最適な関係について，定性的にはその性質を理解できるものの，定量的には明らかにされていない．
そこで本研究では，統計物理学のレプリカ法を応用して，「ノイズにより劣化された画像の圧縮センシング（疎表現）を用いた復元問題」の解の，大自由度極限における平均的な振る舞いを解析的に評価した．レプリカ法は，様々な情報処理問題の平均的性質を，解析的に解明することを可能にしてきた実績を持つ手法である．
まず，上記問題の解の平均的性質を記述するオーダーパラメータを同定し，それらの満たす非線形連立方程式を導出した．続いて，その完全復元解を基点とした，モデルのパラメータ（画像内の画素値の相関強度を制御するパラメータと，画像に付加されるガウスノイズの分散）に関する1次までの摂動解析を行った．しかし，完全復元解が存在するモデルパラメータ領域ではオーダーパラメータに特異性があり，本質的に非摂動的な解析を必要とし，逆に，完全復元解が存在しないモデルパラメータ領域では，摂動的解析が可能であることが判明した．これにより，復元誤差などの観測量を有限な値として予測可能になったばかりでなく，解析結果の適用可能範囲と解の一意性を意味する「レプリカ対称性」が，モデルパラメータ空間におけるどの領域において成立するかを解明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
「研究実績の概要」にも記述した通り，相関を有するデータに対する圧縮センシング（疎表現）を利用した，情報復元の平均的性能の解明が，本研究の核となる最も本質的なな課題である．しかし，この部分の解明が予想以上に困難であり，その原因は，起点となる解（完全復元解）が特異的なことにある．モデルのパラメータ（画像内の画素値の相関強度を制御するパラメータと，画像に付加されるガウスノイズの分散）に関して，システムの応答が非摂動的な領域と摂動的な領域が存在し，それぞれにおいて適切な解析を行わないと有限な予測結果が得られないという困難さが存在した．
ようやく，これらについて解明が完了したと考えられるので，次年度は超解像問題の平均的性能の評価へと進んで行くことを計画している．
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の様な，理論上の困難さに出会った際に有効な推進方策はなかなか存在しないが，幸い，それらを脱することが出来たと考えられる．
そのため今後も，数式処理・数値解析ソフトウェアの援用と，学内での教育・その他業務への対応を効率的に行い，一定の研究時間を確保するのが最大の研究推進方策と考えられる．
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| Causes of Carryover |
研究の進捗状況が思わしくなかったことと，世界的な新型コロナウィルス感染症の流行を原因として，海外における研究成果発表の機会が非常に制限されていたことにより，研究計画立案時に計上していた旅費が殆ど執行出来ていないのが，今年度も次年度使用額が生じた原因である．
今後は，研究成果発表のための旅費へ，次年度使用額を充当する計画である．
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