2021 Fiscal Year Research-status Report
Statistical inference for nonstandard data via time varying processes, robust regression and directional statistics
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20K13467
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
明石 郁哉 東京大学, 大学院経済学研究科(経済学部), 講師 (90773268)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 時系列解析 / 無限分散過程 / 多変量時系列 / 非線形回帰 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2021年度は、（P2）における進展と多次元モデルへの拡張、並びに時空間時系列モデルへの非線形補間（Kriging）予測子の構成方法の基礎理論を構築した。係数の構造が変化する時間変動モデルは、データの持つスケール不均一性を扱うのに適しており、有限分散過程に対する手法が中心に研究されてきた。本研究では実データの持つ無限分散性を扱うために、有限分散の仮定を置かない状況での頑健推定量の構成を行うことを目的としている。（P2）においては、数学的証明の精密化と、数値実験によるパフォーマンスの確認を行った。また、推定量の漸近分散が識別困難な状況において、一般化経験尤度法を用いた係数の信頼領域の構成法を提案した。
さらに非正則観測された時空間データに対する予測問題についても、理論部分の基礎となる結果を導いた。2次元空間において観測位置と観測値の組として観測される時空間時系列モデルに対する解析は歴史の深い分野であり、これまでは主に「固定領域において、時間発展とともに観測点の密度が上昇していく状況」「観測位置が規則的で、観測領域が時間発展とともに拡大していく状況」の2つのパターンにおいて研究が発展していた。本研究ではこれらの枠組みを拡張し、「時間発展とともに観測領域が拡大し、かつ任意の観測点の周りに他の観測点が密集していく」という観測スキームにおける空間補間の手法を考案した。本年度は、モデルの周辺・同時密度関数の一様収束に関する結果を示し、最終目的である予測子の漸近的理論のための基礎理論を導出した。
一方で、これまで研究してきたモデル診断の手法を取りまとめた著書（Akashi, Taniguchi, Monti & Amano）を出版した。特に本書では非正則観測の状況下での推測・検定方法や、無限分散モデルに対するモデル選択手法を取り扱っており、本研究課題との関連性も高いものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（P2）において点推定量の構成と漸近分布の導出に成功したので、次の段階として係数ベクトルの信頼領域の構成をテーマとして研究を推進した。当初は、回帰推定の枠組みでしばしば用いられるmultiplier bootstrapの適用を計画していたが、時間変動性により通常の独立同分布な攪乱項を用いたbootstrap法は機能しないであろうことが予測されていた。また、スケール変動モデルにおいては、誤差分散を既知の定数と置くことが通常であるが、本研究では誤差分散を仮定することができないため、推定量の漸近分散に含まれる重要指標（スケール関数の特定の値と、誤差過程の確率密度関数）を一致推定することが困難である。そこで、申請者がこれまで研究していた時系列モデルに対する一般化経験尤度法の手法を用いて、前述の局外母数の推定を回避した信頼領域の構成法を提案した。
２０２１年度はさらに、時系列モデルにおける中央値回帰の手法を多変量モデルに拡張した。一次元確率変数では、観測系列の中央値の概念が自然に定義されるが、多次元確率変数の場合は中央値に対応する多種の概念がある。その中でもSpatial medianと呼ばれる中央値は、一次元中央値の概念をフロベニウスノルムにより多変量分布に自然に拡張したものであり、頑健性が高く計算コストが比較的低い。そこで２０２１度は経験尤度法とノルム平滑化の手法を組み合わせ、計算機に実装が容易な統計量の構成を行い、理論面の証明を行った。Spatial medianは一次元過程と二次元以上の場合では本質的に異なる振る舞いをすることがあげられ（例えば、目的関数のヘッセ行列の構造など）、多変量モデルを仮定することは一次元過程との本質的な差となり、新奇性をはらんだ結果であるといえる。
上記の研究は、学術論文として投稿準備中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
２０２１年度においてはこれまでの申請者によるスカラー値過程に対する手法の多変量時系列モデルへの拡張にめどが立ったので、２０２２年度以降はさらに一般化したモデルにおいて自己加重法並びに中央値回帰の手法を考察する。特に関数データにおいては、中央値の概念が多変量モデルよりさらに非自明になるが、多変量モデルにおけるDepthという考え方を関数データに対して拡張した事例も２０２１年度に行った先行研究調査で確認できたため、それらの知見も併せて研究を進展する計画である。
（P1）においては、非線形モデルへの変化点解析の手法をさらに発展させていく計画である。通常の自己回帰モデルとは異なり、モデルの自由度が高い非線形モデルにおいては、パラメータの識別性の問題などより精密な議論が必要となる。また線形モデルでは回帰関数の微分が自己回帰過程そのものになるため、M-推定量ととらえた際の推定関数が簡潔な形となるが、非線形モデルでは一般に回帰関数の構造に依存した非自明なものとなる。特に本研究では無限分散性も許容したモデルにおける統計量の振る舞いを考察する必要があり、回帰過程の無限分散性の制御も課題となる。この場合、自己加重法を用いて無限分散性を制御することが考えられるが、非線形モデルでは前述の通り推定関数の形が定まらないため、拡張は非自明である。そこで2021年度に得られた、多変量モデルに対する自己加重法に関する知見も併せて対処する計画である。
また空間時系列モデルに対する予測子の漸近論を展開する計画である。本研究の枠組みでは、観測地点が不規則であるのですべての観測系列の情報を加味した加法型・非線形予測子を構成するが、単にすべての観測点の情報を加えただけでは予測子の収束を示すのは困難である。そこで本年度からはカーネル関数を用いた加重型の予測子を構成し、漸近論の展開を計画している。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の蔓延が収束せず、想定していた海外・国内出張が行えなかった。２０２１年度の後半からは国内出張を行い徐々に学会発表ができるようになったため、２０２２年度は想定した国内出張に加えて他の研究集会に参加し、より広く研究成果を報告する計画である。また引き続き計算資源の増強も考慮に入れる。
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