アフィン量子群のレベル・ゼロ表現論と幾何学的佐武対応

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K14278
• Research Institution: Gunma University
• Principal Investigator: 石井 基裕 群馬大学, 共同教育学部, 准教授 (00732463)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: アフィン量子群 / アフィンワイル群 / 量子ブリュアグラフ / 半無限ブリュア半順序 / レベルゼロ表現 / 端ウェイト加群 / 結晶基底

Outline of Annual Research Achievements

（１）昨年度の研究により、アフィン量子群のレベルゼロ基本表現の結晶基底に対する3つの実現 (量子LSパス模型、量子柏原中島盤模型、通常の柏原中島盤模型) の間の柏原結晶としての同型を与える明示的なアルゴリズムが得られている。今年度の研究により、この結果に対するより精密な証明が得られた。結果的に、BD型の量子柏原中島盤は、より長さの短い量子柏原中島盤の合併として捉えることができ、それらへの柏原作用素の作用、およびそれに伴う合併の様子の変化は、いずれもマヤ図形に対する組合せ論的な操作 (同値なこととして、A型の基本表現の結晶構造) により記述できることが分かった。この記述は量子柏原中島盤に対する新たな特徴付けを与えている。これらのことと昨年度までの研究成果を論文 (1件) にまとめ、arXiv 上に公開し、学術雑誌に投稿した。
（２）一般の対称化可能カッツ・ムーディ・リー環に付随する量子群上の端ウェイト加群の結晶基底に対するワイル群を用いたパス模型の構成に向けて、昨年度までの研究により「ウェイト格子へのワイル群同変な写像に付随する LS パス」のなす柏原結晶が導入されている。これは、LS パスおよび半無限 LS パスの一般化を与えるものであり、ウェイト格子へのワイル群同変な写像のなす圏から (正則な) 柏原結晶のなす圏への関手として定義され得るものである。昨年度の段階では、その関手性は不明であったが、今年度の研究によりそれを確認することができた。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

アフィン量子群のレベルゼロ基本表現に対する組合せ論的な構造解析についてはある程度の進展があったが、それに対応すると予想されるボット・サムエルソン多様体の幾何学的な性質、および二重アフィンヘッケ環の表現論への翻訳が十分に進んでいないため。

Strategy for Future Research Activity

（１）今年度得られた組合せ論的結果を踏まえ、ボット・サムエルソン多様体および二重アフィンヘッケ環の設定で議論を進めていく。
（２）「端ウェイト加群の端ウェイト元を通るワイル群軌道からウェイト格子へのワイル群同変な写像に付随する LS パス」のなす柏原基底と端ウェイト加群の結晶基底とが柏原結晶として同型であることが予想される。今後、まずは両者の連結成分の構造の比較から始め、この予想の検証を進めていく。

Causes of Carryover

研究を進めていく上で必要に応じて研究費を執行したため当初の見込み額と執行額とは異なったが、研究計画に変更はなく、前年度の研究費も含め、当初予定通りの計画を進めていく。