2020 Fiscal Year Research-status Report
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20K14279
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
中嶋 祐介 京都産業大学, 理学部, 助教 (20783096)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 団理論 / 変異 / 組合せ的変異 / ダイマー模型 / トーリック多様体 / グラスマン多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は「変異」という操作と、その背後にある「団構造」に注目し、様々な可換環や代数多様体を考察することである。今年度は以下の2点について重点的に研究を行なった。
(1) ダイマー模型と呼ばれる実2次元トーラス上に描かれた二部グラフから、3次元Gorensteinトーリック特異点の（非可換）クレパント特異点解消が構成できることが知られている。この構成においては、ダイマー模型に付随する凸多角形が重要な役割を果たしている。一方、ファノ多様体のミラー対称性の文脈においては、同型でない凸多角形（と付随するトーリック多様体）が組合せ的変異と呼ばれる操作を通じて結びつく。これらの事実から、先行研究では、凸多角形の組合せ的変異と整合的な性質を持つ、「ダイマー模型の変形」という操作を導入した（東谷章弘氏との共同研究）。今年度は、本研究に関して、オンラインで行われた国際研究集会で発表した他、ダイマー模型の変形の定義の簡略化、応用についての考察を進めた。
(2) 円板上に描かれた二部グラフは、plabicグラフ（あるいは円板上のダイマー模型）と呼ばれる。Plabicグラフと、その変異から得られる組合せ論的データから、グラスマン多様体の団構造が導かれることが知られている。一方、plabicグラフからは、Newton-Okounkov多面体を構成でき、この多面体はグラスマン多様体のトーリック退化を与える。今年度の研究では、plabicグラフの変異とNewton-Okounkov多面体の組合せ的変異が関連することを見出し、 Gelfand-Tsetlin多面体・FFLV多面体といった表現論で重要な多面体との関連を考察した。本件に関しては、現在論文を執筆中である（東谷章弘氏との共同研究）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
トーラス上あるいは円板上のダイマー模型の変異についての知見を広げ、関連する多面体・トーリック多様体の構造を、組合せ的変異の視点から理解することが出来たため。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き、ダイマー模型と組合せ的変異に注目し、トーリック多様体および関連する特異点について調べる予定である。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大の影響により、対面での研究集会や研究打ち合わせが中止・延期となり、予定していた旅費の使用がなかったため。繰り越し分は、事態が落ち着いた後に開催が見込まれる研究集会への旅費とする予定である。
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