2021 Fiscal Year Research-status Report
超平面配置の高階自由性とコバウンダリー多項式の研究
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20K14282
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
中島 規博 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (90732115)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 超平面配置 / コバウンダリー多項式 / Whitney多項式 / 高階自由配置 / 誤り訂正符号 / ハミング重み多項式 / 特性準多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、１．高階自由配置の特徴づけや性質の解析、２．超平面配置のコバウンダリー多項式の明示式の計算を目的とする。2021年度の研究では、2020年に成果を得ていたA型拡張Shi配置・A型拡張Catalan配置が遺伝的自由（hereditarily free）であることの関連研究と、2021年度から研究を始めた標準基底で表示されたBCD型Coxeter配置の特性準多項式に関して一定の成果を得た。
遺伝的自由性に関して、2020年には執筆中だったプレプリントにいくつかの議論を加えて完成させ、査読付き論文誌に投稿した。付け加えた議論は、「有向グラフとtupleから定まる配置A(n,G)の自由性の特徴付け」と「有向グラフが空グラフであるとき，A(n,G)がinductively freeであることの証明」である。本研究は北海道教育大学の辻栄周平氏との共同研究であり、(1)A型拡張Catalan配置は任意の次元で遺伝的自由配置であることの証明と、(2)A型拡張Shi配置は遺伝的自由配置であるような次元の決定をした。
また、特性準多項式は特性多項式の拡張として定義される準多項式である。本研究課題の関連研究として、標準基底で表示されたBCD型Coxeter配置を含むようなクラスの配置の特性準多項式を求めた。証明の鍵はこのクラスにうまく適用できる補集合の点の数え上げ方法を発見した点である。標準基底で表示されたBCD型Coxeter配置の特性準多項式は、2007年にKamiya-Takemura-Teraoにより、すでに求められていたが、本研究との違いは、より広いクラスの特性準多項式であることと、証明の方法が異なるという点である。本研究は名古屋工業大学の森友佑氏との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
拡張Shi配置・拡張Catalan配置に関して、コバウンダリー多項式の決定までは至っていないが、途中段階としての遺伝的自由性の決定だけでも十分に論文として発表できる結果である。一方で、A型拡張Shi配置のどのような制限配置が自由配置であるかが決定されていないので、今後の研究課題とする。
また関連研究として特性準多項式についても一定の成果を得られたので「おおむね順調に進展している」と評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の方針として、まずはA型拡張Shi配置の制限配置の自由性に関する研究を行う。2021年度までの研究において、5次元以下のA型拡張Shi配置が遺伝的自由配置になることを証明する際に、コンピュータを使って全探索的に拡張Shi配置の制限配置が自由であるか調べている。拡張Shi配置の制限配置の自由性を有向グラフの観点からより深く調べることで、コンピュータを使わない証明を与えることを目指す。
同時進行でShi配置の特性準多項式の研究も進める。特にB型Shi配置から平行な2枚の超平面を除いた配置の特性多項式の周期に関する予想について調べる。
また、研究代表者は６月に開催される研究集会「誤り訂正符号と超平面配置の関係とその応用」において、ハミング重み多項式とコバウンダリー多項式（Whitney多項式）の関係に関する講演をする予定である。関連する研究の研究者に問題を広めつつ、関連する研究分野の最新研究を取り入れながら研究を進める。
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| Causes of Carryover |
コロナ感染症により出張ができなかったため次年度使用額が生じた。２０２２年度以降、対面での学会や研究打ち合わせが可能になれば出張旅費として使用する。
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