2022 Fiscal Year Research-status Report
Fundamental groups and moduli spaces of curves in positive characteristic
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20K14283
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
YANG YU 京都大学, 数理解析研究所, 特定助教 (30838131)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | pointed stable curve / fundamental group / moduli space / anabelian geometry / positive characteristic |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究計画で記載している基本群のmoduli空間の哲学と主予想によれば、正標数代数閉体上の遠アーベル幾何学を研究することは基本群のmoduli空間の位相的な性質を研究することと同値である。担当者はある種の基本群のmoduli空間が分離であることを証明した。この結果を遠アーベル幾何学に応用することによって、玉川氏に証明された(0,n)型の双曲代数曲線のGrothendieck予想に関する結果を有限化することに成功した。すなわち、(0,n)型の双曲代数曲線の同型類は基本群のある特定な有限商だけで完全に決定されることである。さらに、この結果を安定曲線の場合まで拡張するために、担当者は自分のgeneralized Hasse-Witt不変量に関するある結果を精密化し、より良い結果を証明できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
正標数代数閉体上で定義された代数曲線のtame基本群の有限商に関する研究は非常に難しいテーマである。その理由は、tame基本群の有限商全体のなす集合は遠アーベル現象が存在により、有限商全体のなす集合は代数曲線の同型類に依存するからである。今回の結果は固定された曲線のtame基本群から出発して特定な有限群を構成し、更にこの特定な有限商は曲線の幾何構造を復元できることを示した。この結果により、tame基本群の有限商全体のなす集合は曲線の幾何学的構造にどのような影響を与えるかを解明した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進に関しては、前記の結果を安定曲線のadmissible基本群までに拡張することである。admissible基本群の場合に安定曲線の幾何構造が有限商によって決定されることを証明するためには、今まで使っていたp-average formulaだけでなくeffective版を証明しないといけないと思う。
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